Calcule a integral \oint_{C}\left(2 x e^{x y}+x^{2} y e^{x y}\right) d x+\left(x^{3} e^{x y}+2 y\right) d y, onde a curva C, chamada cardióide, é descrita em coordenadas polares por r=1+\cos \theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada \displaystyle \oint_{C}P\,dx+Q\,dy
onde
P(x,y)=2x\,e^{xy}+x^{2}y\,e^{xy},
Q(x,y)=x^{3}e^{xy}+2y,
e C é a cardióide r=1+\cos\theta.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que diz que, para uma curva simples fechada e sua região interna D,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}e^{xy}+2y\bigr) =3x^{2}e^{xy}+x^{3}y\,e^{xy} =e^{xy}(3x^{2}+x^{3}y),
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,e^{xy}+x^{2}y\,e^{xy}\bigr) =2x^{2}e^{xy}+\bigl(x^{2}e^{xy}+x^{3}y\,e^{xy}\bigr) =e^{xy}(3x^{2}+x^{3}y).
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0.

Passo 3

Como \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=0 em toda a região interna a C e essa região é simplesmente conexa, o teorema de Green dá
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}0\,dA =0.

Resposta

0

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