Seja
a esfera de centro na origem e raio
, seja ainda
a superfície lateral de um cilindro de raio
cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de
a
. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a esfera de raio
centrada na origem. O conteúdo é integral de função escalar em superfície e vamos usar que, na esfera, a quantidade
é constante, além de conhecer a área da esfera.
Passo 2
Na superfície
temos sempre
Logo o integrando é constante e podemos escrevê-lo como
Passo 3
A integral
é simplesmente a área da esfera de raio
, que é
Passo 4
Substituindo esse valor, obtemos