Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{S}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{\mathcal{S}}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dS
onde \mathcal{S} é a esfera de raio a centrada na origem. O conteúdo é integral de função escalar em superfície e vamos usar que, na esfera, a quantidade x^{2}+y^{2}+z^{2} é constante, além de conhecer a área da esfera.

Passo 2

Na superfície \mathcal{S} temos sempre
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.
Logo o integrando é constante e podemos escrevê-lo como
\iint_{\mathcal{S}}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dS = a^{2}\,\iint_{\mathcal{S}}1\,dS.

Passo 3

A integral \iint_{\mathcal{S}}1\,dS é simplesmente a área da esfera de raio a, que é
\mathrm{Area}(\mathcal{S})=4\pi a^{2}.

Passo 4

Substituindo esse valor, obtemos
\iint_{\mathcal{S}}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dS = a^{2}\times 4\pi a^{2} =4\pi a^{4}.

Resposta

4\pi a^{4}

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