A curva parametrizada por
é chamada uma espiral logaritmica. Em coordenadas polares ela tem equação
, ou
, que é a origem do nome. Sobre esta curva:
(a) Esboce a traço da curva
.
(b) Mostre que o vetor tangente de
faz ângulo constante com o vetor posição ao longo da curva
(c) Calcule o comprimento da curva entre
e
(d) Determine o comprimento da parte da curva correspondente a
.
(a) Esboce a traço da curva
(b) Mostre que o vetor tangente de
(c) Calcule o comprimento da curva entre
(d) Determine o comprimento da parte da curva correspondente a
Passo 1
O enunciado trata da espiral logarítmica dada em parametrização cartesiana por
que em coordenadas polares satisfaz
. Vamos:
– (a) descrever o esboço da curva para ,
– (b) mostrar que o ângulo entre o vetor tangente e o vetor posição
é constante,
– (c) calcular o comprimento de arco entre e
,
– (d) tomar o limite para achar o comprimento até
.
– (a) descrever o esboço da curva para
– (b) mostrar que o ângulo entre o vetor tangente
– (c) calcular o comprimento de arco entre
– (d) tomar o limite
Passo 2
Para esboçar a espiral note que
:
– Quando ,
, então a curva aproxima-se da origem fazendo voltas infinitas.
– Quando cresce,
cresce exponencialmente, e a espiral se afasta enquanto gira no sentido anti-horário.
Logo, o traço é uma espiral que parte do infinito de voltas bem apertadas perto da origem e vai se abrindo à medida que aumenta.
– Quando
– Quando
Logo, o traço é uma espiral que parte do infinito de voltas bem apertadas perto da origem e vai se abrindo à medida que
Passo 3
Calculamos primeiramente o vetor tangente:
O produto escalar
é
As normas são
Logo o cosseno do ângulo
entre eles é
ou seja,
(constante).
Passo 4
O comprimento de arco entre
e
é
Passo 5
Para
fazemos
e
:
Resposta
(a) É uma espiral que, para
, se enrola infinitamente na origem e, para
, afasta-se girando anti-horário.
(b) O ângulo entre e
é constante igual a
.
(c)
(b) O ângulo entre
(c)
(d)