A curva parametrizada por \gamma(\theta)=\left(e^{\theta} \cos \theta, e^{\theta} \operatorname{sen} \theta\right) é chamada uma espiral logaritmica. Em coordenadas polares ela tem equação r=e^{\theta}, ou \ln r=\theta, que é a origem do nome. Sobre esta curva:
(a) Esboce a traço da curva (-\infty<\theta<\infty).
(b) Mostre que o vetor tangente de \gamma faz ângulo constante com o vetor posição ao longo da curva
(c) Calcule o comprimento da curva entre \theta=a e \theta=b
(d) Determine o comprimento da parte da curva correspondente a \theta \in(-\infty, 0].

Passo 1

O enunciado trata da espiral logarítmica dada em parametrização cartesiana por
\gamma(\theta)=\bigl(e^{\theta}\cos\theta,\;e^{\theta}\sin\theta\bigr),
que em coordenadas polares satisfaz r=e^{\theta}. Vamos:
– (a) descrever o esboço da curva para -\infty<\theta<\infty,
– (b) mostrar que o ângulo entre o vetor tangente \gamma'(\theta) e o vetor posição \gamma(\theta) é constante,
– (c) calcular o comprimento de arco entre \theta=a e \theta=b,
– (d) tomar o limite \theta\to-\infty para achar o comprimento até \theta=0.

Passo 2

Para esboçar a espiral note que r=e^{\theta}:
– Quando \theta\to-\infty, r\to0, então a curva aproxima-se da origem fazendo voltas infinitas.
– Quando \theta cresce, r cresce exponencialmente, e a espiral se afasta enquanto gira no sentido anti-horário.
Logo, o traço é uma espiral que parte do infinito de voltas bem apertadas perto da origem e vai se abrindo à medida que \theta aumenta.

Passo 3

Calculamos primeiramente o vetor tangente:
\gamma'(\theta) =\bigl(e^{\theta}\cos\theta - e^{\theta}\sin\theta,\;e^{\theta}\sin\theta + e^{\theta}\cos\theta\bigr) =e^{\theta}\bigl(\cos\theta-\sin\theta,\;\sin\theta+\cos\theta\bigr).
O produto escalar \gamma'(\theta)\cdot\gamma(\theta) é
e^{\theta}\bigl(\cos\theta-\sin\theta,\sin\theta+\cos\theta\bigr)\cdot e^{\theta}(\cos\theta,\sin\theta) =e^{2\theta}\bigl(\cos^2\theta -\sin\theta\cos\theta +\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta\bigr) =e^{2\theta}.
As normas são
\|\gamma(\theta)\|=e^{\theta},\qquad \|\gamma'(\theta)\| =e^{\theta}\sqrt{(\cos\theta-\sin\theta)^2+(\sin\theta+\cos\theta)^2} =e^{\theta}\sqrt{2}.
Logo o cosseno do ângulo \varphi entre eles é
\cos\varphi =\frac{\gamma'(\theta)\cdot\gamma(\theta)}{\|\gamma'\|\;\|\gamma\|} =\frac{e^{2\theta}}{e^{\theta}\,e^{\theta}\sqrt2} =\frac1{\sqrt2},
ou seja, \varphi=45^\circ (constante).

Passo 4

O comprimento de arco entre \theta=a e \theta=b é
L=\int_a^b\|\gamma'(\theta)\|\,d\theta =\int_a^b e^{\theta}\sqrt2\,d\theta =\sqrt2\bigl[e^{\theta}\bigr]_a^b =\sqrt2\bigl(e^b-e^a\bigr).

Passo 5

Para \theta\in(-\infty,0] fazemos a\to-\infty e b=0:
L =\sqrt2\bigl(e^0-\lim_{\theta\to-\infty}e^{\theta}\bigr) =\sqrt2(1-0) =\sqrt2.

Resposta

(a) É uma espiral que, para \theta\to-\infty, se enrola infinitamente na origem e, para \theta\to+\infty, afasta-se girando anti-horário.
(b) O ângulo entre \gamma'(\theta) e \gamma(\theta) é constante igual a 45^\circ.
(c)
L_{[a,b]}=\sqrt2\,\bigl(e^b-e^a\bigr).
(d)
L_{(-\infty,0]}=\sqrt2.

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