Exercício 6.38. (Segunda prova, 27 de maio de 2011) Um baläo esférico se enche de ar a uma taxa de 2 metros cúbicos por segundo. Calcule a taxa com a qual o raío do baläo cresce no instante em que o seu volume atingiu
metros ábicos.
Passo 1
O enunciado descreve um balão esférico cujo volume
cresce a uma taxa constante de
e pede a rapidez com que o raio
do balão está aumentando no instante em que
O conteúdo necessário é o de taxas relacionadas em funções implícitas: usamos a relação entre volume e raio de uma esfera e diferenciamos em relação ao tempo.
Passo 2
A fórmula do volume de uma esfera é
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
, usando regra da cadeia, vem
Passo 3
No instante considerado, o volume satisfaz
Cancelando
de ambos os lados obtém-se
Passo 4
Isolando
na relação diferencial, temos