Exercício 6.38. (Segunda prova, 27 de maio de 2011) Um baläo esférico se enche de ar a uma taxa de 2 metros cúbicos por segundo. Calcule a taxa com a qual o raío do baläo cresce no instante em que o seu volume atingiu \frac{4 \pi}{3} metros ábicos.

Passo 1

O enunciado descreve um balão esférico cujo volume V cresce a uma taxa constante de
\frac{dV}{dt} = 2\\ \text{m}^3/\text{s},
e pede a rapidez com que o raio r do balão está aumentando no instante em que
V = \frac{4\pi}{3}\\ \text{m}^3.
O conteúdo necessário é o de taxas relacionadas em funções implícitas: usamos a relação entre volume e raio de uma esfera e diferenciamos em relação ao tempo.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera é
V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3.
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, usando regra da cadeia, vem
\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi\,r^3\Bigr) = 4\pi\,r^2\,\frac{dr}{dt}.

Passo 3

No instante considerado, o volume satisfaz
\frac{4}{3}\,\pi\,r^3 = \frac{4\pi}{3}.
Cancelando \frac{4\pi}{3} de ambos os lados obtém-se
r^3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad r = 1\\ \text{m}.

Passo 4

Isolando \tfrac{dr}{dt} na relação diferencial, temos
\frac{dr}{dt} = \frac{\frac{dV}{dt}}{4\pi\,r^2} = \frac{2}{4\pi\,(1)^2} = \frac{1}{2\pi}\\ \text{m/s}.

Resposta

\displaystyle \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\pi}\\ \text{m/s}.

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