(a) Calcule rot \vec{F}, onde \vec{F}: \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é o campo \vec{F}=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \vec{i}+ \frac{x}{x^{2}+y^{2}} \vec{j}.
(b) Prove que o campo \vec{F} não é conservativo
(c) Definimos \alpha(x, y)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right). Explicíte o domínio de \alpha e calcule \nabla \alpha.
(d) O resultado do ítem c) contradiz o ítem b)?
(e) Dê uma interpretação geométrica para a função \alpha.
(f) Modifique a definição de \alpha para obter uma função \theta(x, y) com domínio ampliado \left.D=\mathbb{R}^{2} \backslash\{(x, y) \mid y=0, x \leq 0\}\right\} de modo que tenhamos \nabla \theta(x, y)= \vec{F}(x, y) em D.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec F(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\;\vec i \;+\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\;\vec j
definido em \mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\}. Precisamos:
  1. Calcular \operatorname{rot}\vec F.
  2. Mostrar que \vec F não é conservativo em todo esse domínio.
  3. Definir \alpha(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac yx\bigr), achar seu domínio e seu gradiente.
  4. Verificar se há contradição entre (b) e (c).
  5. Dar interpretação geométrica de \alpha.
  6. Ajustar \alpha para uma função \theta em D=\mathbb R^2\setminus\{(x,y)\mid y=0,\;x\le0\} de modo que \nabla\theta=\vec F.

Passo 2

Para um campo planar \vec F=(F_{1},F_{2}), a componente escalar do rotacional é
\operatorname{rot}\vec F =\frac{\partial F_{2}}{\partial x} -\frac{\partial F_{1}}{\partial y}.
Aqui
F_{1}(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\quad F_{2}(x,y)= \frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Calculando
\frac{\partial F_{2}}{\partial x} =\frac{(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =-\frac{(x^{2}+y^{2})-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo
\operatorname{rot}\vec F =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} -\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =0 \quad\text{em }\mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 3

Um campo com rotacional zero num domínio simplesmente conexo seria conservativo. Mas aqui o domínio \mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\} não é simplesmente conexo (tem “buraco” no zero). Para ver que \vec F não é conservativo basta calcular a circulação em torno do círculo unitário C\colon x=\cos t,\;y=\sin t,\;t\in[0,2\pi]:
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\frac{-\sin t}{1}\,(-\sin t)+\frac{\cos t}{1}\,\cos t\Bigr)dt =\int_{0}^{2\pi}dt =2\pi\neq 0.
Como há curva fechada com integral não nula, \vec F não é conservativo em \mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 4

Definimos
\alpha(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac yx\bigr).
O argumento \tfrac yx exige x\neq 0. Logo o domínio natural de \alpha é
\{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid x\neq 0\},
que se quebra em duas “metades” x>0 e x<0. Para o gradiente usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial \alpha}{\partial x} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\Bigl(-\frac{y}{x^{2}}\Bigr) =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial \alpha}{\partial y} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\nabla\alpha(x,y) =\bigl(-\tfrac{y}{x^{2}+y^{2}},\;\tfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\bigr) =\vec F(x,y) \quad\text{em }x\neq 0.

Passo 5

Em (b) vimos que \vec F não é conservativo em \mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\}. Em (c) encontramos \nabla\alpha=\vec F no domínio x\neq 0. Não há contradição, pois em x\neq 0 não há curvas fechadas que rodeiem o ponto (0,0). Ou seja, o domínio de \alpha é formado por duas regiões simplesmente conexas onde \vec F de fato é gradiente.

Passo 6

Geometricamente, \alpha(x,y) mede o ângulo que o ponto (x,y) faz com o eixo x positivo (a “fase” ou argumento em coordenadas polares).

Passo 7

Para estender o domínio e cobrir todas as direções sem “pular” o ramo, usamos a função argumento principal
\theta(x,y)=\operatorname{atan2}(y,x),
definida e contínua em
D=\mathbb R^{2}\setminus\{(x,y)\mid y=0,\;x\le 0\}.
Nesse domínio, \theta varia de -\pi a \pi e satisfaz
\nabla\theta(x,y)=\vec F(x,y).

Resposta

(a) \operatorname{rot}\vec F=0 em \mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\}.
(b) \vec F não é conservativo porque sua circulação em torno de um círculo centrado na origem vale 2\pi\neq0.
(c) Domínio de \alpha\colon\{x\neq 0\} e \nabla\alpha(x,y)=\bigl(-\tfrac{y}{x^{2}+y^{2}},\;\tfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\bigr).
(d) Não há contradição: o domínio de \alpha é duas regiões simplesmente conexas sem buraco em (0,0).
(e) \alpha é o ângulo polar (argumento) de (x,y) em coordenadas polares.
(f) Com \theta(x,y)=\operatorname{atan2}(y,x) e D=\mathbb R^{2}\setminus\{(x,y)\mid y=0,\;x\le0\}, tem-se \nabla\theta=\vec F.

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