(a) Calcule rot
, onde
é o campo
.
(b) Prove que o campo
não é conservativo
(c) Definimos
. Explicíte o domínio de
e calcule
.
(d) O resultado do ítem c) contradiz o ítem b)?
(e) Dê uma interpretação geométrica para a função
.
(f) Modifique a definição de
para obter uma função
com domínio ampliado
de modo que tenhamos
em
.
(b) Prove que o campo
(c) Definimos
(d) O resultado do ítem c) contradiz o ítem b)?
(e) Dê uma interpretação geométrica para a função
(f) Modifique a definição de
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
definido em
. Precisamos:
- Calcular
. - Mostrar que
não é conservativo em todo esse domínio. - Definir
, achar seu domínio e seu gradiente. - Verificar se há contradição entre (b) e (c).
- Dar interpretação geométrica de
. - Ajustar
para uma função em de modo que .
Passo 2
Para um campo planar
, a componente escalar do rotacional é
Aqui
Calculando
Logo
Passo 3
Um campo com rotacional zero num domínio simplesmente conexo seria conservativo. Mas aqui o domínio
não é simplesmente conexo (tem “buraco” no zero). Para ver que
não é conservativo basta calcular a circulação em torno do círculo unitário
:
Como há curva fechada com integral não nula,
não é conservativo em
.
Passo 4
Definimos
O argumento
exige
. Logo o domínio natural de
é
que se quebra em duas “metades”
e
. Para o gradiente usamos a regra da cadeia:
Portanto
Passo 5
Em (b) vimos que
não é conservativo em
. Em (c) encontramos
no domínio
. Não há contradição, pois em
não há curvas fechadas que rodeiem o ponto
. Ou seja, o domínio de
é formado por duas regiões simplesmente conexas onde
de fato é gradiente.
Passo 6
Geometricamente,
mede o ângulo que o ponto
faz com o eixo
positivo (a “fase” ou argumento em coordenadas polares).
Passo 7
Para estender o domínio e cobrir todas as direções sem “pular” o ramo, usamos a função argumento principal
definida e contínua em
Nesse domínio,
varia de
a
e satisfaz
Resposta
(a)
em
(b) não é conservativo porque sua circulação em torno de um círculo centrado na origem vale
.
(c) Domínio de e
(d) Não há contradição: o domínio de é duas regiões simplesmente conexas sem buraco em
.
(e) é o ângulo polar (argumento) de
em coordenadas polares.
(f) Com e
, tem-se
.
(b)
(c) Domínio de
(d) Não há contradição: o domínio de
(e)
(f) Com