Calcule a integral
ointC z-12 z^2+3 z-2 d z
em torno do quadrado cujos vértices são (1,1),(-1,1),(-1,-1) e ( 1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional no plano complexo, especificamente:
ointC z-12 z^2+3 z-2 , dz
O contorno C é o quadrado com vértices em (1,1), (-1,1), (-1,-1) e (1,-1). Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para calcular integrais ao redor de contornos fechados. Vamos precisar identificar os pólos da função dentro do contorno e calcular seus resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função z-12 z^2+3 z-2 tem singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Isso acontece quando:
2 z^2 + 3 z - 2 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de z:
z = -3 pm raiz9 + 164 = -3 pm 54
Então, temos duas soluções:
z1 = -3 + 54 = 24 = 12
z2 = -3 - 54 = -84 = -2
Portanto, os pólos são z = 12 e z = -2.

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno C, que é o quadrado limitado por |Re(z)| <= 1 e |Im(z)| <= 1.
  • Para z = 12: A parte real é 0,5, que está dentro do intervalo [-1,1], e a parte imaginária é 0, também dentro. Então, z = 12 está dentro do contorno.
  • Para z = -2: A parte real é -2, que está fora do intervalo [-1,1]. Portanto, z = -2 está fora do contorno.
Assim, somente o pólo z = 12 contribui para a integral.

Passo 4

Vamos calcular o resíduo da função no pólo z = 12. Como é um pólo simples, o resíduo pode ser calculado usando a fórmula:
Res(z-12 z^2+3 z-2, 12) = z-1ddz(2 z^2+3 z-2) g|z = 12
Primeiro, calculamos a derivada do denominador:
ddz(2 z^2+3 z-2) = 4 z + 3
Agora, substituímos z = 12:
Res = 12 - 14 cdot 12 + 3 = -122 + 3 = -125 = -110

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral ao redor do contorno C é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Como temos apenas um resíduo, a integral fica:
ointC z-12 z^2+3 z-2 , dz = 2pi i cdot (-110) = -pi i5

Resposta

A integral é igual a -dfracpi i5.

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