Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional no plano complexo, especificamente:
O contorno é o quadrado com vértices em , , e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para calcular integrais ao redor de contornos fechados. Vamos precisar identificar os pólos da função dentro do contorno e calcular seus resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função tem singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Isso acontece quando:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pólos são e .
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno , que é o quadrado limitado por e .
Para : A parte real é , que está dentro do intervalo , e a parte imaginária é , também dentro. Então, está dentro do contorno.
Para : A parte real é , que está fora do intervalo . Portanto, está fora do contorno.
Assim, somente o pólo contribui para a integral.
Passo 4
Vamos calcular o resíduo da função no pólo . Como é um pólo simples, o resíduo pode ser calculado usando a fórmula:
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral ao redor do contorno C é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Como temos apenas um resíduo, a integral fica: