Seja f(z)=u(x, y)+i v(x, y) uma função analítica. Se u(x, y)=x y encontre v(x, y) e f(z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a parte imaginária $ v(x, y) $ e a função completa $ f(z) $ de uma função analítica $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $. A gente sabe que $ u(x, y) = x y $. Para resolver isso, vamos usar os equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais quando lidamos com funções analíticas de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Cauchy-Riemann. Se $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ é analítica, então:
f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
Essas igualdades são cruciais porque garantem que a função seja diferenciável no sentido complexo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ u(x, y) = x y $:
u(x, y) = x y

Passo 4

Agora, aplicando as equações de Cauchy-Riemann:
  1. Da primeira equação:
partial vpartial y = partial upartial x = y
Integrando em relação a $ y $:
y
Aqui, $ C(x) $ é uma função que depende só de $ x $.
  1. Da segunda equação:
v(x, y) = integral y , dy = y^22 + C(x)
Diferenciando $ v(x, y) = \frac{y^2}{2} + C(x) $ em relação a $ x $:
C(x)
Integrando:
x
Onde $ K $ é uma constante.

Passo 5

Substituindo $ C(x) $ de volta na expressão de $ v(x, y) $:
C(x)
Normalmente, podemos ignorar a constante $ K $ se não houver condições adicionais, então:
v(x, y)

Passo 6

Agora, vamos escrever a função completa $ f(z) $:
f(z)

Resposta

A parte imaginária é $ v(x, y) = \dfrac{y^{2} - x^{2}}{2} $ e a função completa é $ f(z) = x y + i \dfrac{y^{2} - x^{2}}{2} $.

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