Seja
uma função analítica. Se
encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a parte imaginária $ v(x, y) $ e a função completa $ f(z) $ de uma função analítica $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $. A gente sabe que $ u(x, y) = x y $. Para resolver isso, vamos usar os equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais quando lidamos com funções analíticas de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Cauchy-Riemann. Se $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ é analítica, então:
Essas igualdades são cruciais porque garantem que a função seja diferenciável no sentido complexo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ u(x, y) = x y $:
Passo 4
Agora, aplicando as equações de Cauchy-Riemann:
- Da primeira equação:
Integrando em relação a $ y $:
Aqui, $ C(x) $ é uma função que depende só de $ x $.
- Da segunda equação:
Diferenciando $ v(x, y) = \frac{y^2}{2} + C(x) $ em relação a $ x $:
Integrando:
Onde $ K $ é uma constante.
Passo 5
Substituindo $ C(x) $ de volta na expressão de $ v(x, y) $:
Normalmente, podemos ignorar a constante $ K $ se não houver condições adicionais, então:
Passo 6
Agora, vamos escrever a função completa $ f(z) $:
Resposta
A parte imaginária é $ v(x, y) = \dfrac{y^{2} - x^{2}}{2} $ e a função completa é $ f(z) = x y + i \dfrac{y^{2} - x^{2}}{2} $.