A distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente é a distribuição de Maxwell:
f(v) propto v^2 e^-m v^2 / 2 k T
g(v)=4 pi(vvm)^2 vm e^-(vvm)^2
onde vm é a velocidade mais provável.
Considere 1 mol de moléculas e aproxime d v por De.
Encontre o número de moléculas com velocidades em d v para:
  • © v=vm

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre a distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente, conhecida como distribuição de Maxwell. A gente precisa calcular quantas moléculas têm velocidade na faixa de dv quando v é igual à velocidade mais provável vm. Para isso, vamos usar a distribuição de Maxwell fornecida e considerar que temos 1 mol de moléculas, além de aproximar dv por De.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar moléculas com determinada velocidade em um gás. A função g(v) é a distribuição de velocidades normalizada, ou seja, ela já está ajustada para que a integral sobre todas as velocidades dê 1.

Passo 3

Como temos 1 mol de moléculas, precisamos saber quantas moléculas existem nesse mol. Sabemos que 1 mol contém o número de Avogadro, que é aproximadamente NA = 6,022 times 10^23 moléculas.

Passo 4

Agora, para encontrar o número de moléculas com velocidade entre v e v + dv, usamos a fórmula:
Número de moléculas = NA times g(v) times Deúé
Aqui, g(v) é a função de distribuição de velocidades e De é a pequena faixa de velocidade que estamos considerando.

Passo 5

Vamos calcular g(vm). Substituindo v = vm na função g(v):
g(vm) = 4pi (vmvm)^2 vm e^-(vmvm)^2 = 4pi vm e^-1
Simplificando, temos:
g(vm) = 4pi vm e^-1

Passo 6

Agora, substituímos g(vm) e De na fórmula do Passo 4:
Número de moléculas = NA times 4pi vm e^-1 times 0,01 , vm úé
= NA times 4pi times 0,01 times vm^2 e^-1

Passo 7

Podemos simplificar mais:
Número de moléculas = NA times 4pi times 0,01 times vm^2 times e^-1 úé
= NA times 0,04pi times vm^2 times e^-1

Passo 8

Então, a expressão final para o número de moléculas com velocidade em dv quando v = vm é:
N = NA times 0,04pi times vm^2 times e^-1

Resposta

O número de moléculas com velocidades em dv quando v = vm é:
N = NA times 0,04pi times vm^2 times e^-1

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