tomando o contorno no sentido anti-horário ao longo do círculo: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para encontrarmos o valor da integral
ao redor do círculo no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função dentro da integral, ou seja, , não está bem definida. Esses pontos são chamados de pólos da função. Nesse caso, temos dois pólos:
Pólo em : Aqui, a função tem um denominador , então é um pólo de ordem 3.
Pólo em : Aqui, o denominador nos dá um pólo de ordem 1.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno dado pelo círculo .
Para : A distância de 0 até a origem é 0, que é menor que 2. Então, está dentro do círculo.
Para : A distância de -4 até a origem é 4, que é maior que 2. Então, está fora do círculo.
Isso significa que apenas o pólo em contribui para o valor da integral.
Passo 4
Como temos um pólo de ordem 3 em , precisamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto. A fórmula para o resíduo em um pólo de ordem é:
onde f(z) = g(z)(z - 0)^n. No nosso caso, n = 3 e g(z) = 1z + 4.
Passo 5
Vamos calcular a derivada segunda de g(z) = 1z + 4:
Primeira derivada:
g'(z) = -1(z + 4)^2
Segunda derivada:
g''(z) = 2(z + 4)^3
Agora, avaliamos essa derivada em z = 0:
g''(0) = 2(0 + 4)^3 = 264 = 132
Passo 6
Aplicando a fórmula do resíduo:
Res(f, 0) = 12! cdot 132 = 12 cdot 132 = 164
Passo 7
Finalmente, usando o Teorema dos Resíduos, sabemos que:
oint d zz^3(z+4) = 2pi i cdot Res(f, 0) = 2pi i cdot 164 = pi i32