Encontre o valor da integral:
oint d zz^3(z+4)
tomando o contorno no sentido anti-horário ao longo do círculo: |z|=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para encontrarmos o valor da integral
oint d zz^3(z+4)
ao redor do círculo |z| = 2 no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função dentro da integral, ou seja, 1z^3(z+4), não está bem definida. Esses pontos são chamados de pólos da função. Nesse caso, temos dois pólos:
  1. Pólo em z = 0: Aqui, a função tem um denominador z^3, então é um pólo de ordem 3.
  2. Pólo em z = -4: Aqui, o denominador z + 4 nos dá um pólo de ordem 1.

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno dado pelo círculo |z| = 2.
  • Para z = 0: A distância de 0 até a origem é 0, que é menor que 2. Então, z = 0 está dentro do círculo.
  • Para z = -4: A distância de -4 até a origem é 4, que é maior que 2. Então, z = -4 está fora do círculo.
Isso significa que apenas o pólo em z = 0 contribui para o valor da integral.

Passo 4

Como temos um pólo de ordem 3 em z = 0, precisamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto. A fórmula para o resíduo em um pólo de ordem n é:
Res(f, 0) = 1(n-1)! cdot d^n-1dz^n-1 [g(z)] g|z=0
onde f(z) = g(z)(z - 0)^n. No nosso caso, n = 3 e g(z) = 1z + 4.

Passo 5

Vamos calcular a derivada segunda de g(z) = 1z + 4:
  1. Primeira derivada:
g'(z) = -1(z + 4)^2
  1. Segunda derivada:
g''(z) = 2(z + 4)^3
Agora, avaliamos essa derivada em z = 0:
g''(0) = 2(0 + 4)^3 = 264 = 132

Passo 6

Aplicando a fórmula do resíduo:
Res(f, 0) = 12! cdot 132 = 12 cdot 132 = 164

Passo 7

Finalmente, usando o Teorema dos Resíduos, sabemos que:
oint d zz^3(z+4) = 2pi i cdot Res(f, 0) = 2pi i cdot 164 = pi i32

Resposta

O valor da integral é dfracpi i32.

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