Escreva a série de Taylor para a seguinte função complexa, e diga para quais valores de z a série é convergente:
f(z)=11+z-2 z^2 ao redor da origem;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a série de Taylor da função complexa $ f(z) = \frac{1}{1+z-2z^{2}} $ ao redor da origem (ou seja, em $ z = 0 $) e determinar para quais valores de $ z $ essa série converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(z) $. O denominador é um polinômio de segundo grau:
f(z)
Podemos reescrever isso rearranjando os termos:
1 + z - 2z^2
Para facilitar a fatoração, vamos multiplicar por -2z^2 + z + 1 :
-1

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio usando a fórmula de Bhaskara:
z = 1 pm raiz1 + 84 = 1 pm 34
Isso nos dá duas raízes:
z = 1 e z = -12

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos fatorar o denominador:
1 + z - 2z^2 = (1 - z)(1 + 2z)
Então, a função $ f(z) $ fica:
f(z)

Passo 5

Para escrever a série de Taylor, vamos separar $ f(z) $ em frações parciais:
f(z)
Multiplicando ambos os lados por $ (1 - z)(1 + 2z) $ para eliminar os denominadores:
1(1 - z)(1 + 2z) = A1 - z + B1 + 2z

Passo 6

Para encontrar os valores de $ A $ e $ B $, vamos escolher valores específicos para $ z $:
  • Quando $ z = 1 $:
    A
  • Quando $ z = -\frac{1}{2} $:
    B

Passo 7

Agora que temos $ A = \frac{1}{3} $ e $ B = \frac{2}{3} $, a função fica:
A = 13

Passo 8

Vamos lembrar que a série geométrica é dada por:
11 - w = sumn=0^infty w^n para |w| < 1
Aplicando isso às frações que temos:
  • Para $ \frac{1}{1 - z} $:
    11 - z
  • Para $ \frac{1}{1 + 2z} $, fazemos $ w = -2z $:
    11 - z = sumn=0^infty z^n para |z| < 1

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de $ f(z) $:
f(z)

Passo 10

Por fim, a série de Taylor para $ f(z) $ ao redor da origem é:
f(z)

Resposta

A série de Taylor de $ f(z) = \frac{1}{1+z-2z^{2}} $ ao redor da origem é:
f(z) = 11+z-2z^2
Essa série converge para valores de $ z $ tais que $ |z| < \frac{1}{2} $.

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