Escreva a série de Taylor para a seguinte função complexa, e diga para quais valores de
a série é convergente:
ao redor da origem;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a série de Taylor da função complexa $ f(z) = \frac{1}{1+z-2z^{2}} $ ao redor da origem (ou seja, em $ z = 0 $) e determinar para quais valores de $ z $ essa série converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ f(z) $. O denominador é um polinômio de segundo grau:
Podemos reescrever isso rearranjando os termos:
Para facilitar a fatoração, vamos multiplicar por
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos fatorar o denominador:
Então, a função $ f(z) $ fica:
Passo 5
Para escrever a série de Taylor, vamos separar $ f(z) $ em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ (1 - z)(1 + 2z) $ para eliminar os denominadores:
Passo 6
Para encontrar os valores de $ A $ e $ B $, vamos escolher valores específicos para $ z $:
-
Quando $ z = 1 $:
-
Quando $ z = -\frac{1}{2} $:
Passo 7
Agora que temos $ A = \frac{1}{3} $ e $ B = \frac{2}{3} $, a função fica:
Passo 8
Vamos lembrar que a série geométrica é dada por:
Aplicando isso às frações que temos:
-
Para $ \frac{1}{1 - z} $:
-
Para $ \frac{1}{1 + 2z} $, fazemos $ w = -2z $:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão de $ f(z) $:
Passo 10
Por fim, a série de Taylor para $ f(z) $ ao redor da origem é:
Resposta
A série de Taylor de $ f(z) = \frac{1}{1+z-2z^{2}} $ ao redor da origem é:
Essa série converge para valores de $ z $ tais que $ |z| < \frac{1}{2} $.