Calcule a integral
no seguinte contorno: círculo unitário centrado em 1;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! A questão pede para calcular a integral de $ \frac{z{2}}{z{2}+1} $ ao longo de um contorno $ C $, que é um círculo unitário centrado em 1. Aqui, estamos trabalhando com Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos. Para resolver, vamos identificar os pontos onde a função tem singularidades (pontos onde ela não é analítica) e ver quais deles estão dentro do nosso contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da função $ f(z) = \frac{z{2}}{z{2}+1} $. As singularidades acontecem quando o denominador é zero, ou seja:
Então, as singularidades são nos pontos $ z = i $ e $ z = -i $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno $ C $, que é um círculo de raio 1 centrado em 1 no plano complexo. Para isso, calculamos a distância de cada ponto singular ao centro do círculo:
Para $ z = i $:
Para $ z = -i $:
Como o raio do círculo é 1 e a distância de ambas as singularidades ao centro é aproximadamente 1,414, que é maior que 1, nenhuma das singularidades está dentro do contorno $ C $.
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, se não houver singularidades dentro do contorno de integração, a integral ao longo desse contorno é zero. Em termos simples, se não temos “picos” ou “pontos problemáticos” dentro do caminho que estamos integrando, a integral resultará em zero.