Mostre que a parte real
e a parte imaginária
de
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, e encontre sua derivada a partir das derivadas parciais de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a parte real $ u $ e a parte imaginária $ v $ de $ z^{n} $ obedecem às equações de Cauchy-Riemann. Além disso, precisamos encontrar a derivada de $ z^{n} $ usando as derivadas parciais de $ u $ e $ v $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de número complexo, as equações de Cauchy-Riemann e como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar $ z^{n} $ em termos das suas partes real e imaginária. Seja $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais. Então,
Aqui, $ u(x, y) $ é a parte real e $ v(x, y) $ é a parte imaginária de $ z^{n} $.
Passo 3
Para encontrar $ u $ e $ v $, podemos usar a fórmula de De Moivre, que diz que:
Onde $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e $ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $. Assim,
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso significa encontrar $ \frac{\partial u}{\partial x} $, $ \frac{\partial u}{\partial y} $, $ \frac{\partial v}{\partial x} $ e $ \frac{\partial v}{\partial y} $.
Usando a regra da cadeia:
Passo 5
As equações de Cauchy-Riemann dizem que para uma função ser diferenciável no sentido complexo, elas devem ser satisfeitas:
Vamos verificar se isso ocorre:
Comparando $ \frac{\partial u}{\partial x} $ com $ \frac{\partial v}{\partial y} $, vemos que ambas são iguais após simplificação.
E comparando $ \frac{\partial u}{\partial y} $ com $ -\frac{\partial v}{\partial x} $, também vemos que são iguais após simplificação.
Portanto, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.
Passo 6
Agora, para encontrar a derivada de $ z^{n} $, usamos a fórmula:
Após calcular as derivadas parciais e simplificar, obtemos:
Resposta
A derivada de $ z^{n} $ é $ f’(z) = n z^{n-1} $.