A distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente é a distribuição de Maxwell:
f(v) propto v^2 e^-m v^2 / 2 k T
g(v)=4 pi(vvm)^2 vm e^-(vvm)^2
onde vm é a velocidade mais provável.
Considere 1 mol de moléculas e aproxime d v por De.
Encontre o número de moléculas com velocidades em d v para:
  • (e) v=8 vm [3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre a distribuição de velocidades das moléculas em um recipiente, que segue a Distribuição de Maxwell. Vamos usar essa distribuição para encontrar quantas moléculas têm velocidades próximas a 8 vm, onde vm é a velocidade mais provável. Para isso, precisamos entender as fórmulas da distribuição de Maxwell e aplicar alguns conceitos básicos de probabilidade e química.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição de Maxwell fornecida:
g(v) = 4 pi (vvm)^2 vm e^-(vvm)^2
Essa fórmula nos dá a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade específica v. O termo vm é a velocidade mais provável, ou seja, a velocidade na qual a maioria das moléculas está.

Passo 3

Sabemos que temos 1 mol de moléculas. Pelo número de Avogadro, isso significa que temos aproximadamente N = 6,022 times 10^23 moléculas. Queremos encontrar quantas dessas moléculas têm velocidades próximas a 8 vm.

Passo 4

O enunciado sugere aproximar dv por De. Isso significa que estamos interessados em um intervalo de velocidade em torno de 8 vm de pm 0,005 vm (já que De é a largura total do intervalo).

Passo 5

Para encontrar o número de moléculas com velocidades em dv, usamos a fórmula:
n = N times g(v) times De
Onde:
  • n é o número de moléculas na faixa de velocidade.
  • N é o número total de moléculas.
  • g(v) é a função da distribuição de Maxwell avaliada em v = 8 vm.
  • De é o intervalo de velocidade.

Passo 6

Vamos calcular g(8 vm) substituindo v = 8 vm na fórmula:
g(8 vm) = 4 pi (8 vmvm)^2 vm e^-(8 vmvm)^2 = 4 pi (8)^2 vm e^-64
Simplificando:
g(8 vm) = 4 pi times 64 times vm e^-64 = 256 pi vm e^-64

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula de n:
n = N times g(8 vm) times De
Multiplicando os termos:
n = N times 256 pi times 0,01 times vm^2 e^-64
n = N times 2,56 pi vm^2 e^-64

Passo 8

Como não temos valores numéricos para vm ou e^-64 (que é um número extremamente pequeno), podemos concluir que o número de moléculas com velocidade em 8 vm é praticamente zero devido ao termo e^-64.

Resposta

Portanto, o número de moléculas com velocidades em 8 vm é praticamente zero.

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