Calcule
para a seguinte função e contorno:
, em todo o plano complexo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integração no plano complexo. A questão pede para calcular a integral de contorno de uma função $ f(z) = z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ em todo o plano complexo. Para isso, vamos usar conceitos de análise de resíduos e séries de Laurent.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de contorno no plano complexo, especialmente quando temos singularidades (pontos onde a função não é bem definida), podemos usar o Teorema dos Resíduos. Esse teorema nos diz que a integral ao redor de um contorno fechado é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro desse contorno.
Passo 3
Agora, vamos identificar as singularidades da função $ f(z) = z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $. A função seno $ \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ tem uma singularidade essencial em $ z = 0 $ porque a série de Taylor dela em torno desse ponto não termina nunca e tem termos de potências negativas de $ z $.
Passo 4
Para encontrar o resíduo da função $ f(z) $ em $ z = 0 $, precisamos expandir $ f(z) $ em uma série de Laurent e identificar o coeficiente do termo $ \frac{1}{z} $. Vamos começar expandindo $ \sin\left(\frac{1}{z}\right) $:
Passo 5
Multiplicando essa série por $ z^{2} $ para obter $ f(z) $:
Passo 6
Queremos encontrar o termo que tem $ z^{-1} $ porque esse é o termo que corresponde ao resíduo. Vamos igualar o expoente a -1:
Passo 7
Então, o resíduo é o coeficiente correspondente a $ n = 1 $:
Passo 8
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a $ 2\pi i $ vezes o resíduo: