Calcule oint f(z) d z para a seguinte função e contorno:
f(z)=z^2 sen(1z), em todo o plano complexo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integração no plano complexo. A questão pede para calcular a integral de contorno de uma função $ f(z) = z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ em todo o plano complexo. Para isso, vamos usar conceitos de análise de resíduos e séries de Laurent.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de contorno no plano complexo, especialmente quando temos singularidades (pontos onde a função não é bem definida), podemos usar o Teorema dos Resíduos. Esse teorema nos diz que a integral ao redor de um contorno fechado é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro desse contorno.

Passo 3

Agora, vamos identificar as singularidades da função $ f(z) = z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $. A função seno $ \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ tem uma singularidade essencial em $ z = 0 $ porque a série de Taylor dela em torno desse ponto não termina nunca e tem termos de potências negativas de $ z $.

Passo 4

Para encontrar o resíduo da função $ f(z) $ em $ z = 0 $, precisamos expandir $ f(z) $ em uma série de Laurent e identificar o coeficiente do termo $ \frac{1}{z} $. Vamos começar expandindo $ \sin\left(\frac{1}{z}\right) $:
f(z)

Passo 5

Multiplicando essa série por $ z^{2} $ para obter $ f(z) $:
z^2

Passo 6

Queremos encontrar o termo que tem $ z^{-1} $ porque esse é o termo que corresponde ao resíduo. Vamos igualar o expoente a -1:
z^-1

Passo 7

Então, o resíduo é o coeficiente correspondente a $ n = 1 $:
n = 1 í

Passo 8

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a $ 2\pi i $ vezes o resíduo:
2pi i

Resposta

oint f(z) dz = -dfracpi i3

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