Calcule a integral
no seguinte contorno: círculo unitário centrado em i;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno
onde $ C $ é um círculo unitário centrado no ponto $ i $ no plano complexo. Vamos usar conhecimentos de Cálculo Complexo, mais especificamente o Teorema dos Resíduos, para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função $ \frac{z{2}}{z{2}+1} $ tem singularidades, ou seja, valores de $ z $ que fazem o denominador zero.
Resolvendo $ z^{2} + 1 = 0 $:
Então, as singularidades estão em $ z = i $ e $ z = -i $.
Passo 3
Agora, vamos analisar se essas singularidades estão dentro do contorno $ C $, que é o círculo unitário centrado em $ i $. Isso quer dizer que qualquer ponto $ z $ que satisfaz $ |z - i| \leq 1 $ está dentro do contorno.
- Para $ z = i $:
Está dentro do contorno.
- Para $ z = -i $:
Está fora do contorno.
Então, apenas $ z = i $ está dentro de $ C $.
Passo 4
Como temos apenas uma singularidade dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função $ \frac{z{2}}{z{2}+1} $ nesse ponto $ z = i $.
Para funções racionais onde o denominador tem um zero simples, o resíduo em $ z_0 $ é dado por:
onde $ N(z) $ é o numerador e $ D(z) $ é o denominador.
No nosso caso:
- $ N(z) = z^{2} $
- $ D(z) = z^{2} + 1 $
- Derivada de $ D(z) $: $ D’(z) = 2z $
Então, o resíduo em $ z = i $ é:
Lembrando que $ i^{2} = -1 $.
Passo 5
Simplificando o resíduo:
Então, o resíduo em $ z = i $ é $ \frac{i}{2} $.
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é dada por:
Substituindo o resíduo que encontramos:
E como $ i^{2} = -1 $:
Resposta
Portanto, o valor da integral é $ -\pi $.