Calcule a integral
ointC z^2z^2+1 d z
no seguinte contorno: círculo unitário centrado em i;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno
ointC z^2z^2+1 , dz
onde $ C $ é um círculo unitário centrado no ponto $ i $ no plano complexo. Vamos usar conhecimentos de Cálculo Complexo, mais especificamente o Teorema dos Resíduos, para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função $ \frac{z{2}}{z{2}+1} $ tem singularidades, ou seja, valores de $ z $ que fazem o denominador zero.
Resolvendo $ z^{2} + 1 = 0 $:
z^2z^2+1
Então, as singularidades estão em $ z = i $ e $ z = -i $.

Passo 3

Agora, vamos analisar se essas singularidades estão dentro do contorno $ C $, que é o círculo unitário centrado em $ i $. Isso quer dizer que qualquer ponto $ z $ que satisfaz $ |z - i| \leq 1 $ está dentro do contorno.
  • Para $ z = i $:
C
Está dentro do contorno.
  • Para $ z = -i $:
i
Está fora do contorno.
Então, apenas $ z = i $ está dentro de $ C $.

Passo 4

Como temos apenas uma singularidade dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função $ \frac{z{2}}{z{2}+1} $ nesse ponto $ z = i $.
Para funções racionais onde o denominador tem um zero simples, o resíduo em $ z_0 $ é dado por:
z^2z^2+1
onde $ N(z) $ é o numerador e $ D(z) $ é o denominador.
No nosso caso:
  • $ N(z) = z^{2} $
  • $ D(z) = z^{2} + 1 $
  • Derivada de $ D(z) $: $ D’(z) = 2z $
Então, o resíduo em $ z = i $ é:
z = i
Lembrando que $ i^{2} = -1 $.

Passo 5

Simplificando o resíduo:
-12i = -12i cdot -i-i = i2
Então, o resíduo em $ z = i $ é $ \frac{i}{2} $.

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é dada por:
ointC z^2z^2+1 , dz = 2pi i cdot Res(z^2z^2+1, i)
Substituindo o resíduo que encontramos:
2pi i cdot i2 = pi i^2
E como $ i^{2} = -1 $:
i^2 = -1

Resposta

Portanto, o valor da integral é $ -\pi $.

Exercícios relacionados