Calcule a integral
no seguinte contorno: círculo de raio 2 centrado em 1.
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é a pergunta. Precisamos calcular a integral de contorno
onde $ C $ é um círculo de raio 2 centrado no ponto 1 no plano complexo. Vamos usar o conceito de Teorema dos Resíduos da análise complexa para resolver isso.
Passo 2
O Teorema dos Resíduos nos diz que, para calcular essa integral, precisamos identificar os polos da função dentro do contorno $ C $ e calcular os resíduos nesses pontos. Um polo ocorre onde o denominador da nossa função é zero, ou seja, onde $ z^{2} + 1 = 0 $.
Passo 3
Resolvendo $ z^{2} + 1 = 0 $, encontramos $ z = i $ e $ z = -i $. Esses são os polos da nossa função. Agora, precisamos verificar se esses pontos estão dentro do nosso contorno $ C $, que é o círculo de raio 2 centrado em 1.
Passo 4
Para saber se $ i $ e $ -i $ estão dentro de $ C $, calculamos a distância de cada ponto até o centro do círculo, que é 1. A distância é dada por $ |z - 1| $.
Para $ z = i $:
Para $ z = -i $:
Como $ \sqrt{2} < 2 $, ambos os pontos $ i $ e $ -i $ estão dentro do contorno $ C $.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos. A integral será igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos nos polos dentro de $ C $.
A função é $ f(z) = \frac{z{2}}{z{2} + 1} $. Para encontrar o resíduo em cada polo simples $ z = a $, usamos:
onde $ h(z) = z^{2} + 1 $ e $ h’(z) = 2z $.
Passo 6
Calculando o resíduo em $ z = i $:
Calculando o resíduo em $ z = -i $:
Passo 7
Somando os resíduos:
Resposta
Portanto, o valor da integral é $ 0 $.