Calcule, sem usar derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando $ x $ vai para menos infinito da seguinte expressão:
Estamos lidando com limites no infinito, focando em funções polinomiais dentro de raízes. Para resolver isso, vamos identificar os termos de maior grau em cada parte (numerador e denominador) porque, em limites no infinito, esses termos dominam o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador:
O termo de maior grau aqui é $ x^{15} $. Quando $ x $ tende para menos infinito, os termos menores (como $ 8x^{3} $ e $ -8 $) se tornam insignificantes comparados a $ x^{15} $. Então, podemos simplificar o numerador para:
Isso porque $ (x{3}){5} = x^{15} $, e a raiz quinta do $ x^{15} $ é $ x^{3} $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
Aqui, o termo de maior grau é $ x^{6}
-7x^{5} $, $ 8x $ e $ -6 $) ficam desprezíveis quando $ x $ vai para menos infinito. Então, o denominador simplifica para:
A raiz quadrada de $ x^{6} $ é o valor absoluto de $ x^{3} $, ou seja, $ |x^{3}| $.
Passo 4
Agora, substituímos as simplificações no limite original:
Como $ x $ está indo para menos infinito ($ x $ é negativo), $ x^{3} $ também será negativo. Portanto, $ |x^{3}| = -x^{3} $. Substituindo na expressão:
Resposta
O limite é igual a
.