Calcule, sem usar derivadas:
lim x -infty raiz[5]x^15+8 x^3-8raizx^6-7 x^5+8 x-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando $ x $ vai para menos infinito da seguinte expressão:
x
Estamos lidando com limites no infinito, focando em funções polinomiais dentro de raízes. Para resolver isso, vamos identificar os termos de maior grau em cada parte (numerador e denominador) porque, em limites no infinito, esses termos dominam o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador:
raiz[5]x^15 + 8x^3 - 8
O termo de maior grau aqui é $ x^{15} $. Quando $ x $ tende para menos infinito, os termos menores (como $ 8x^{3} $ e $ -8 $) se tornam insignificantes comparados a $ x^{15} $. Então, podemos simplificar o numerador para:
x^15
Isso porque $ (x{3}){5} = x^{15} $, e a raiz quinta do $ x^{15} $ é $ x^{3} $.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador:
raizx^6 - 7x^5 + 8x - 6
Aqui, o termo de maior grau é $ x^{6} x^6 -7x^{5} $, $ 8x $ e $ -6 $) ficam desprezíveis quando $ x $ vai para menos infinito. Então, o denominador simplifica para:
-7x^5
A raiz quadrada de $ x^{6} $ é o valor absoluto de $ x^{3} $, ou seja, $ |x^{3}| $.

Passo 4

Agora, substituímos as simplificações no limite original:
lim x -infty x^3|x^3|
Como $ x $ está indo para menos infinito ($ x $ é negativo), $ x^{3} $ também será negativo. Portanto, $ |x^{3}| = -x^{3} $. Substituindo na expressão:
x

Resposta

O limite é igual a -1.

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