Calcule a integral.
integralC 2 x d x+2 x y d y+2 z d z
onde C é uma hélice x=cos (t), y=sen(t) e z=t e 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC2x,dx + 2xy,dy + 2z,dz
ao longo da hélice dada por
x=cos(t), y=sin(t), z=t, 0<= t<= 2pi
O conteúdo é integração de formas diferenciais em curvas, e vamos resolver parametrizando C.

Passo 2

Parametrizamos C por r(t)=(cos t,sin t,t). Então
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt, dz=dt

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando vira
2x,dx +2xy,dy +2z,dz =2cos tl(-sin t,dtr) +2cos tsin tl(cos t,dtr) +2t,dt
Simplificando,
= l(-2cos tsin t+2cos^2 tsin t+2tr)dt = l(2cos tsin t(cos t-1)+2tl),dt

Passo 4

Chamemos
I1=2integral0^2picos tsin t(cos t-1),dt, I2=2integral0^2pit,dt,
de modo que a integral total é I=I1+I2.

Passo 5

Para I1 note que
cos tsin t(cos t-1) =cos^2 tsin t-cos tsin t
Usando substituições usuais ( u=cos t e u=sin t em cada termo ) verifica-se que o valor de
integral0^2pi(cos^2 tsin t-cos tsin t),dt
é zero. Logo I1=0.

Passo 6

Para I2 basta integrar:
I2=2integral0^2pit,dt =2l[t^22r]0^2pi =(2pi)^2 =4pi^2

Resposta

integralC2x,dx +2xy,dy +2z,dz = 4pi^2

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