Calcule a integral.
onde C é uma hélice
e
onde C é uma hélice
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
ao longo da hélice dada por
O conteúdo é integração de formas diferenciais em curvas, e vamos resolver parametrizando
C .
Passo 2
Parametrizamos
C por
r(t)=(cos t,sin t,t) . Então
Passo 3
Substituindo na integral, o integrando vira
Simplificando,
Passo 4
Chamemos
de modo que a integral total é
I=I1+I2 .
Passo 5
Para
I1 note que
Usando substituições usuais (
u=cos t e
u=sin t em cada termo ) verifica-se que o valor de
integral0^2pi(cos^2 tsin t-cos tsin t),dt
é zero. LogoI1=0 .
é zero. Logo
Passo 6
Para
I2 basta integrar: