Mostre que o campo é conservativo, encontre a função potencial e calcule a integral.
integral(0,0)^(2,3) y d x+x d y

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),Q(x,y)r) = l(y,xr)
e pede (i) mostrar que F é conservativo, (ii) encontrar uma função potencial f tal que nabla f=F, e (iii) calcular a integral de linha
integral(0,0)^(2,3) y,dx + x,dy
O conteúdo é teoria de campos conservativos e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Para mostrar que F é conservativo em R^2 (que é simplesmente conexo) basta verificar
partial Ppartial y ;=; partial partial y(y) ;=; 1, partial Qpartial x ;=; partial partial x(x) ;=; 1
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, F é conservativo.
Para achar f, integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral y,dx = x,y + h(y)
Derivando isso em relação a y e igualando a Q obtemos
partial fpartial y = x + h'(y) = Q(x,y)=x ;implies; h'(y)=0 ;implies; h(y)=C
Podemos escolher C=0. Logo
f(x,y)=x,y

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para campo conservativo
integral(0,0)^(2,3)y,dx+x,dy = f(2,3)-f(0,0) = (2cdot3)-(0cdot0) =6

Resposta

6

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