Mostre que o campo é conservativo, encontre a função potencial e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e pede (i) mostrar que
é conservativo, (ii) encontrar uma função potencial
tal que
, e (iii) calcular a integral de linha
O conteúdo é teoria de campos conservativos e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Para mostrar que
é conservativo em
(que é simplesmente conexo) basta verificar
Como
,
é conservativo.
Para achar , integramos
em relação a
:
Para achar
Derivando isso em relação a
e igualando a
obtemos
Podemos escolher
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Passo 3
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para campo conservativo