Verifique, em cada caso, que a função dada é uma solução da equação diferencial.
y^prime prime+y=sec x, 0<x<pi / 2 ; y=(cos x) ln cos x+x sen x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y = (cos x),ln(cos x) ;+; x,sin x
é solução da equação diferencial
y'' + y = sec x,
no intervalo 0<x<pi/2. Para isso, vamos precisar calcular y' e y'' usando regras de derivação (produto, cadeia) e então substituir em y''+y.

Passo 2

Calcular y'. Escrevendo
y = ucdot v + w, u=cos x,;v=ln(cos x),;w=xsin x,
temos
u' = -sin x, v' = -sin xcos x = -tan x, w' = sin x + xcos x
Pelo produto em u,v,
ddx[u,v] = u',v + u,v' = -sin x;ln(cos x);+;cos x,(-tan x)
Portanto
y' = -sin x,ln(cos x);-;cos x,tan x ;+;sin x ;+; xcos x
Como cos x,tan x = sin x, simplifica-se para
y' = -sin x,ln(cos x) + xcos x

Passo 3

Calcular y''. Diferenciando
y' = -sin x,ln(cos x) + xcos x,
usamos de novo produto e soma:
  1. Para -sin x,ln(cos x), com p=-sin x, q=ln(cos x):
p'=-cos x, q'=-tan x,
ddx[p,q] = p',q + p,q' = -cos x,ln(cos x) + (-sin x)(-,tan x) = -cos x,ln(cos x) + sin^2 xcos x
  1. Para xcos x:
ddx[xcos x] = 1cdotcos x + xcdot(-sin x) = cos x - xsin x
Somando,
y'' = -cos x,ln(cos x) + sin^2 xcos x + cos x - xsin x
Reagrupando,
y'' = cos x,(1 - ln(cos x)) + sin^2 xcos x - xsin x

Passo 4

Substituir em y'' + y:
y'' + y = gl[cos x(1 - ln(cos x)) + sin^2 xcos x - xsin xgr] + l[cos x,ln(cos x) + xsin xr]
As parcelas -xsin x e +xsin x se cancelam, e
cos x(1 - ln(cos x)) + cos x,ln(cos x) = cos x
Fica então
y'' + y = cos x + sin^2 xcos x = cos^2 x + sin^2 xcos x = 1cos x = sec x

Resposta

A função dada satisfaz y''+y=sec x em 0<x<pi/2, logo é solução da equação diferencial.

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