Calcule a integral integralC f(x, y) d s, onde f(x, y)=x^2+y^2 e C é a circunferência x^2+y^2=4, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de primeira espécie
integralCf(x,y),ds
onde f(x,y)=x^2+y^2 e C é a circunferência de raio 2 definida por x^2+y^2=4, percorrida no sentido anti-horário.
Conteúdo envolvido: parametrização de curva, cálculo de ds e avaliação de integral de linha escalar.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de raio 2 por
x(t)=2cos t, y(t)=2sin t, 0<= t<= 2pi

Passo 3

Substituímos na função f:
fl(x(t),y(t)r)=(2cos t)^2+(2sin t)^2 =4l(cos^2t+sin^2tr)=4

Passo 4

Calculamos o elemento de arco ds usando
r'(t)=l(x'(t),y'(t)r)=(-2sin t,,2cos t),
logo
l|r'(t)r| =raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2 =raiz4(sin^2t+cos^2t) =2,
e assim
ds=l|r'(t)r|,dt=2,dt

Passo 5

Montamos a integral de linha:
integralCf(x,y),ds =integral0^2pifl(x(t),y(t)r),l|r'(t)r|,dt =integral0^2pi4cdot2,dt =integral0^2pi8,dt =8l(2pi-0r) =16pi

Resposta

16pi

Exercícios relacionados