Determine o comprimento da curva C parametrizada por r(t)=(t, t^2), 0 <= t <= 2, e calcule integralC(x+y) d s.

Passo 1

O enunciado dá a curva C parámetrizada por
r(t) = l(x(t),y(t)r) = l(t,,t^2r), 0<= t<= 2,
e pede
  1. o comprimento de C;
  2. o valor da integral de linha
integralC(x+y),ds
Para isso precisamos usar a fórmula
ds = l|r'(t)r|,dt
para o comprimento, e na integral de linha substituir x=t, y=t^2 e ds.

Passo 2

Cálculo do comprimento L de C.
Temos
r'(t) = l(1,,2tr),
logo
|r'(t)| = raiz1 + (2t)^2 = raiz1+4t^2
Portanto
L = integral0^2 raiz1+4t^2,dt
Usamos a primitiva conhecida
integral raiz1+4t^2,dt = t2raiz1+4t^2 ;+;14lnl(2t + raiz1+4t^2r),
de onde, avaliando de 0 a 2,
L = l[t2raiz1+4t^2 + 14lnl(2t+raiz1+4t^2r)r]0^2 = raiz17 ;+;14lnl(4+raiz17r)

Passo 3

Configuração da integral de linha
integralC(x+y),ds = integral0^2 l(t + t^2r),raiz1+4t^2;dt
Denotemos
I = integral0^2 l(t + t^2r)raiz1+4t^2,dt = J1 + J2,
onde
J1 = integral0^2 traiz1+4t^2,dt, J2 = integral0^2 t^2raiz1+4t^2,dt

Passo 4

Cálculo de J1 por u-substituição:
u = 1+4t^2, du = 8t,dt ;Longrightarrow; t,dt = du8
Então
J1 = integral traiz1+4t^2,dt = 18integral u^1/2,du = 18cdot23u^3/2 = 112(1+4t^2)^3/2
avaliado de 0 a 2:
J1 = 112l(17^3/2 - 1r)

Passo 5

Cálculo de J2 via substituição u=1+4t^2, que leva a
J2 = integral0^2 t^2raiz1+4t^2,dt = 116integral1^17raizu(u-1),du,
e usando a primitiva
integral raizu(u-1),du = u-tfrac122raizu(u-1) - 18ln!l(u-tfrac12+raizu(u-1)r),
obtém-se, após avaliar de u=1 a u=17 e simplificar,
J2 = 33raiz1716 ;+;1128ln!l(33+8raiz174r)

Passo 6

Reunindo I = J1+J2,
I = 112l(17raiz17-1r) ;+;33raiz1716 ;+;1128ln!l(33+8raiz174r)
= 167raiz17-448 ;+;1128ln!l(33+8raiz174r)

Resposta

O comprimento da curva é
L = raiz17 ;+;14lnl(4+raiz17r),
e a integral de linha vale
integralC(x+y),ds = 167raiz17-448 ;+;1128ln!l(33+8raiz174r)

Exercícios relacionados