Determine o comprimento da curva
parametrizada por
, e calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
parámetrizada por
e pede
- o comprimento de
; - o valor da integral de linha
Para isso precisamos usar a fórmula
para o comprimento, e na integral de linha substituir
x=t ,
y=t^2 e
ds .
Passo 2
Cálculo do comprimento
L de
C .
Temos
Temos
logo
Portanto
Usamos a primitiva conhecida
de onde, avaliando de
0 a
2 ,
Passo 3
Configuração da integral de linha
Denotemos
onde
Passo 4
Cálculo de
J1 por
u -substituição:
Então
avaliado de
0 a
2 :
Passo 5
Cálculo de
J2 via substituição
u=1+4t^2 , que leva a
e usando a primitiva
obtém-se, após avaliar de
u=1 a
u=17 e simplificar,
Passo 6
Reunindo
I = J1+J2 ,
Resposta
O comprimento da curva é
e a integral de linha vale