Determine a solução geral das edos:
d xd t-6 x=10 sen 2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea
dxdt-6x=10sin(2t)
Para resolver vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução da parte homogênea e depois uma particular.

Passo 2

A parte homogênea é
dxdt-6x=0
Reescrevendo como dxdt=6x e separando variáveis temos
1x,dx=6,dt Longrightarrow ln|x|=6t+k Longrightarrow xh(t)=Ce^6t,
onde C=e^k é constante arbitrária.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular xp(t) da forma de senos e cossenos, propomos
xp(t)=Asin(2t)+Bcos(2t)
Calculamos a derivada:
xp'(t)=2Acos(2t)-2Bsin(2t)
Substituindo na equação original:
l(2Acos(2t)-2Bsin(2t)r) -6l(Asin(2t)+Bcos(2t)r) =10sin(2t)

Passo 4

Agrupando termos em
Isso gera o sistema
Da primeira equação (A=3B]. Substituindo na segunda:

Passo 5

Assim a solução particular é
xp(t)=-tfrac32sin(2t)-tfrac12cos(2t)
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=xh(t)+xp(t) =Ce^6t-tfrac32sin(2t)-tfrac12cos(2t)

Resposta

x(t)=Ce^6t-32sin(2t)-12cos(2t)

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