Determine a solução geral das edos:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
que podemos tratar como uma equação na forma diferencial
Aqui vamos usar o método do fator integrante para torná-la exata e, em seguida, encontrar a solução geral implícita.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial identificamos
isto é,
Verificamos que
,
logo não é exata em sua forma original.
logo não é exata em sua forma original.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
tal que
Para
vale
Integramos em
:
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
que agora é exata, pois
e
.
Existe então uma função potencial tal que
e
Existe então uma função potencial
Integrando a primeira relação em
:
Derivando em
e igualando a
mostra
, logo
é constante.
Passo 5
A solução geral implícita vem de
Se quiser a forma explícita em
: