Determine a solução geral das edos:
2 x y d yd x-y^2+x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2xy,dydx-y^2+x=0
que podemos tratar como uma equação na forma diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
Aqui vamos usar o método do fator integrante para torná-la exata e, em seguida, encontrar a solução geral implícita.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial identificamos
(x - y^2),dx + 2xy,dy = 0,
isto é,
M(x,y)=x-y^2, N(x,y)=2xy
Verificamos que
partial M/partial y=-2yneqpartial N/partial x=2y,
logo não é exata em sua forma original.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu(x) tal que
partialpartial yl(mu Mr) =partialpartial xl(mu Nr)
Para mu=mu(x) vale
1mudmudx =partial M/partial y - partial N/partial xN =-2y-2y2xy=-2x
Integramos em x:
lnmu=-2ln|x|Longrightarrowmu(x)=x^-2

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=1/x^2 obtemos
l(tfrac1x-tfracy^2x^2r),dx+l(tfrac2yxr),dy=0,
que agora é exata, pois
partial/partial y(1/x-y^2/x^2)=-2y/x^2
e
partial/partial x(2y/x)=-2y/x^2.
Existe então uma função potencial Psi(x,y) tal que
partialPsipartial x =1x-y^2x^2, partialPsipartial y =2yx
Integrando a primeira relação em x:
Psi(x,y)=integrall(tfrac1x-tfracy^2x^2r)dx =ln|x|+y^2x+h(y)
Derivando em y e igualando a 2y/x mostra h'(y)=0, logo h é constante.

Passo 5

A solução geral implícita vem de
Psi(x,y)=C Longrightarrow ln|x|+y^2x=C
Se quiser a forma explícita em y:
y=pmraizxl(C-ln|x|r)

Resposta

ln|x|+y^2x=C

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