Determine a solução geral das edos:
d yd x=y tg x+cos x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
dydx = y ,tan x + cos x
que é uma equação de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Colocando em forma padrão, subtraímos ytan x de ambos os lados, obtendo
dydx - (tan x),y = cos x

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral -tan x,dxr)
Como integral tan x,dx = -ln|cos x|, temos
mu(x) = expl(ln|cos x|r) = cos x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por cos x:
cos x,dydx - (sin x),y = cos^2 x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de ycos x, pois
ddxl(ycos xr) = cos x,dydx - y,sin x
Logo,
ddxl(ycos xr) = cos^2 x
Integrando em relação a x:
ycos x = integral cos^2 x,dx + C
Usando cos^2 x = tfrac12(1+cos2x),
integral cos^2 x,dx = 12integral (1+cos2x),dx = 12 x + 14sin2x + C
Como sin2x=2sin xcos x, fica
ycos x = 12 x + 12sin xcos x + C

Passo 5

Isolando y, dividimos por cos x:
y = tfrac12 xcos x + tfrac12sin xcos xcos x + Csec x = x2cos x + 12sin x + Csec x

Resposta

A solução geral é
y(x) = Csec x + x2cos x + 12sin x,
onde C é a constante arbitrária.

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