Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é a curva dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=sin x i+cos y j+x z k, r(t)=t^2 i+t^3 j+t^2 k, 0 <= t <= 1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot d r
onde F(x,y,z)=(sin x,cos y,xz) e a curva C é dada por
r(t)=(t^2,;t^3,;t^2), 0<= t<=1
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, e vamos precisar parametrizar tudo e usar produto escalar.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada da parametrização para obter d r.
r'(t)=ddt(t^2,;t^3,;t^2)=(2t,;3t^2,;2t)

Passo 3

Substituímos r(t) em F para achar F( r(t)).
F( r(t))=(sin(t^2),;cos(t^3),;t^2cdot t^2)=(sin(t^2),;cos(t^3),;t^4)

Passo 4

O integrando é o produto escalar F( r(t))cdot r'(t):
F( r(t))cdot r'(t) =2tsin(t^2)+3t^2cos(t^3)+2t^5
Portanto
integralCFcdot d r =integral0^1l[2tsin(t^2)+3t^2cos(t^3)+2t^5r],dt

Passo 5

Agora separamos em três integrais e aplicamos substituições simples:
integral0^12tsin(t^2),dt = integral0^1sin(u),du =1-cos(1),
integral0^13t^2cos(t^3),dt = integral0^1cos(v),dv =sin(1),
integral0^12t^5,dt =2cdot16 =13

Passo 6

Somando os três resultados, obtemos
(1-cos(1))+sin(1)+13 =43+sin(1)-cos(1)

Resposta

43+sin(1)-cos(1)

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