Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é a curva dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=x^2 i+y^2 j+z^2 k, r(t)=(2 cos t, 3 sin t, t) 0 <= t <= 2 pi;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot d r
onde F(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2) e a curva é dada por
r(t)=(2cos t,,3sin t,,t), 0<= t<=2pi
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial: devemos parametrizar C, achar r'(t), computar Fl( r(t)r), fazer o produto escalar Fcdot r' e integrar de 0 a 2pi.

Passo 2

Primeiro calculemos a derivada da parametrização e o campo ao longo de C:
r'(t)=(-2sin t,;3cos t,;1),
;Fl( r(t)r)=(,(2cos t)^2,;(3sin t)^2,;t^2)=(,4cos^2t,;9sin^2t,;t^2,)

Passo 3

O integrando é
Fl( r(t)r)cdot r'(t) =4cos^2tcdot(-2sin t)+9sin^2tcdot(3cos t)+t^2cdot1 =-8cos^2t,sin t+27sin^2t,cos t+t^2
Portanto
integralCFcdot d r =integral0^2pil(-8cos^2t,sin t+27sin^2t,cos t+t^2r),dt

Passo 4

As duas primeiras parcelas são integrais de funções periódicas que se anulam no ciclo completo:
– Para integral0^2pi-8cos^2t,sin t,dt, use u=cos t, du=-sin t,dt. O valor de cos t em 0 e 2pi é o mesmo, logo a integral é zero.
– Para integral0^2pi27sin^2t,cos t,dt, use v=sin t, dv=cos t,dt. Novamente sin(0)=sin(2pi)=0, logo essa integral também vale zero.

Passo 5

Só resta
integral0^2pit^2,dt =l[tfract^33r]0^2pi =(2pi)^33 =8pi^33

Resposta

integralCFcdot d r =8pi^33

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