Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
(e^y+1)^2 e^-y d x+(e^y+1)^3 e^-x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(e^y+1)^2e^-y,dx + (e^y+1)^3e^-x,dy = 0
e pede para usar separação de variáveis. Vamos reescrever a equação na forma dy/dx = G(x),H(y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = (e^y+1)^2e^-y, N(x,y) = (e^y+1)^3e^-x,
e escrevemos
dydx = -MN = -(e^y+1)^2e^-y(e^y+1)^3e^-x = -e^x-ye^y+1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (e^y+1)e^y,dx para separar variáveis:
(e^y+1)e^y,dydx = -e^x Longrightarrow (e^y+1)e^y,dy = -e^x,dx

Passo 4

Integramos cada lado:
integral (e^2y+e^y),dy = -integral e^x,dx Longrightarrow e^2y2 + e^y = -e^x + C

Passo 5

Organizando a solução implícita, temos
e^2y2 + e^y + e^x = C,
ou, multiplicando por 2,
e^2y + 2e^y + 2e^x = K

Resposta

e^2y2 + e^y + e^x = C.

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