Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é a curva dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=z i+y j-x k, r(t)=t i+sin t j+cos t k, 0 <= t <= 1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot d r
onde F(x,y,z)=z,vec i+y,vec j -x,vec k e a curva C está parametrizada por
r(t)=t,vec i+sin t,vec j+cos t,vec k, 0<= t<=1
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, e vamos usar a fórmula
integralC Fcdot d r=integral0^1F( r(t))cdot r'(t),dt

Passo 2

Calcularmos a derivada da parametrização:
r'(t)=ddtllang<= t,sin t,cos trrang<==llang<=1,cos t,-sin trrang<=

Passo 3

Substituímos r(t) em F:
F( r(t)) =llang<= z,y,-xrrang<= =llang<= cos t,;sin t,;-,trrang<=

Passo 4

Fazendo o produto escalar
F( r(t))cdot r'(t) =underbracecos tzcdot1 +underbracesin tycdotcos t +l(-tr)cdotl(-sin tr) =cos t+sin tcos t+tsin t

Passo 5

A integral de 0 a 1 fica
integral0^1l(cos t+sin tcos t+tsin tr),dt =integral0^1cos t,dt +integral0^1sin tcos t,dt +integral0^1tsin t,dt

Passo 6

Calculamos cada parcela:
integral0^1cos t,dt =sin t|0^1 =sin1
integral0^1sin tcos t,dt =tfrac12integral0^1sin(2t),dt =-tfrac14l[cos(2t)r]0^1 =tfrac1-cos24
integral0^1tsin t,dt =-,tcos t|0^1+integral0^1cos t,dt =l(-cos1+sin1r)+sin1 =sin1-cos1+sin1 =2sin1-cos1

Passo 7

Somando tudo:
sin1 +tfrac1-cos24 +l(2sin1-cos1r) =2sin1-cos1+1-cos24
Note que 1-cos2=2sin^2 1, logo tfrac1-cos24=tfrac12sin^2 1.

Resposta

integralCFcdot d r =2sin1-cos1+1-cos24 =2sin1-cos1+tfrac12sin^2 1

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