Exercício 4. Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e indique o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
cos ^2 x sen x d yd x+(cos ^3 x) y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
cos^2x,sen x;dydx + cos^3x;y = 1
e pede a solução geral e o maior intervalo I onde ela está definida. O conteúdo é equação linear da forma
dydx + P(x),y = Q(x),
que resolveremos por fator integrante.

Passo 2

Dividimos tudo por cos^2x,sen x (assumindo cos xne0 e sen xne0) para pôr em forma padrão:
dydx + underbracecos^3xcos^2x,sen xP(x)=cot x;y = underbrace1cos^2x,sen xQ(x)=sec^2x,csc x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral cot x,dx = e^ln|sen x| = |sen x|
Em um intervalo onde sen x mantém sinal, podemos usar mu(x)=sen x.

Passo 4

Multiplicando a equação por sen x obtém-se
sen x,dydx + sen x,cot x,y = sen x,sec^2x,csc x ;Longrightarrow; ddxl(sen x,yr) = sec^2x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
sen x,y = integral sec^2x,dx = tan x + C,
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y(x) = tan x + Csen x = sin xcos x,1sen x + C,csc x = sec x + C,csc x

Passo 6

A solução só faz sentido onde cos xne0 e sen xne0, pois aí P(x), Q(x) e mu(x) são contínuos e não há divisão por zero. As singularidades ocorrem em x=kpi ( sen x=0) e x=pi2+kpi ( cos x=0). Assim, os intervalos máximos de definição são
I=l(kpi2,;(k+1)pi2r), kin Z

Resposta

A solução geral é
y(x)=sec x + C,csc x,
e o maior intervalo de definição é qualquer intervalo aberto entre pontos
x=kpi2 e x=(k+1)pi2, kin Z.

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