Use o teorema de Green para calcular
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
onde
é o triângulo com vértices em
e
;
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
para o campo vetorial
onde
é o triângulo de vértices
,
e
.
O conteúdo a aplicar é o Teorema de Green, que nos diz
O conteúdo a aplicar é o Teorema de Green, que nos diz
desde que
seja positivamente orientada (contorno de
no sentido anti-horário).
Passo 2
Precisamos verificar se a sequência de vértices
percorre o triângulo no sentido anti-horário.
De fato, seguindo essas arestas, o domínio fica sempre à esquerda do caminho, logo é positivamente orientada e podemos usar o Teorema de Green.
De fato, seguindo essas arestas, o domínio fica sempre à esquerda do caminho, logo
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green:
Portanto
Passo 4
Agora definimos o domínio
do triângulo. Para
entre
e
, a aresta inferior é a reta que liga
a
, ou seja
, e a aresta superior é a reta horizontal
. Assim
O Teorema de Green dá
Passo 5
Executamos a dupla integração:
Calculando,
Multiplicando por 2,
Resposta
O valor de
é
.