Use o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
F(x, y)=(y^2 cos x, x^2+2 y sin x) onde C é o triângulo com vértices em (0,0),(1,3) e (0,3);

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
ointCFcdot d r
para o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=y^2cos x, Q(x,y)=x^2+2ysin x,
onde C é o triângulo de vértices (0,0), (1,3) e (0,3).
O conteúdo a aplicar é o Teorema de Green, que nos diz
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
desde que C seja positivamente orientada (contorno de D no sentido anti-horário).

Passo 2

Precisamos verificar se a sequência de vértices (0,0)to(1,3)to(0,3)to(0,0) percorre o triângulo no sentido anti-horário.
De fato, seguindo essas arestas, o domínio fica sempre à esquerda do caminho, logo C é positivamente orientada e podemos usar o Teorema de Green.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green:
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^2+2ysin xr) =2x+2ycos x,
partial Ppartial y =partialpartial yl(y^2cos xr) =2ycos x
Portanto
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2x+2ycos x-2ycos x =2x

Passo 4

Agora definimos o domínio D do triângulo. Para x entre 0 e 1, a aresta inferior é a reta que liga (0,0) a (1,3), ou seja y=3x, e a aresta superior é a reta horizontal y=3. Assim
D=l(x,y)mid 0<= x<=1, 3x<= y<=3r
O Teorema de Green dá
ointCFcdot dr =integral duplaD2x,dA =2integralx=0^1!integraly=3x^3x,dy,dx

Passo 5

Executamos a dupla integração:
2integral0^1!l[x,(y)r]y=3x^3dx =2integral0^1xl(3-3xr),dx =2integral0^1l(3x-3x^2r),dx
Calculando,
integral0^1(3x-3x^2),dx =l[tfrac32x^2-x^3r]0^1 =32-1=12
Multiplicando por 2,
2cdot12=1

Resposta

O valor de ointCFcdot dr é 1.

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