Calcule a integral integralC F cdot d r onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=(x+y) i+(y+z) j+z^2 k e r(t)=t^2 i+t^3 j+t^2 k, com 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCvec Fcdot dvec r
onde
vec F(x,y,z)=(x+y),vec i+(y+z),vec j+z^2,vec k
e a curva C vem da parametrização
vec r(t)=t^2,vec i + t^3,vec j + t^2,vec k, 0<= t<=1
Esse assunto é “integral curvilínea de campo vetorial”. A fórmula geral é
integralCvec Fcdot dvec r ;=;integral0^1vec Fl(vec r(t)r)cdot vec r'(t),dt
Para resolver, vamos: derivar vec r(t), substituir em vec F, calcular o produto escalar vec F(vec r(t))cdotvec r'(t) e, por fim, integrar de 0 a 1.

Passo 2

Derivando a curva, temos
vec r(t)=t^2,vec i + t^3,vec j + t^2,vec k ;Longrightarrow; vec r'(t)=2t,vec i + 3t^2,vec j + 2t,vec k
Na teoria, vec r'(t) é o vetor tangente à curva e dvec r=vec r'(t),dt.

Passo 3

Agora substituímos (x,y,z)=(t^2,t^3,t^2) em vec F:
vec Fl(vec r(t)r) =(t^2+t^3),vec i + (t^3+t^2),vec j + (t^2)^2,vec k =(t^2+t^3),vec i + (t^2+t^3),vec j + t^4,vec k

Passo 4

Fazendo o produto escalar
vec F(vec r(t))cdotvec r'(t) =(t^2+t^3)(2t)+(t^2+t^3)(3t^2)+(t^4)(2t)
Lembrando que, em teoria, para u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3), ucdot v=u1v1+u2v2+u3v3.
Expandindo:
(t^2+t^3)(2t)=2t^3+2t^4, (t^2+t^3)(3t^2)=3t^4+3t^5, (t^4)(2t)=2t^5,
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vec F(vec r(t))cdotvec r'(t)=2t^3+5t^4+5t^5

Passo 5

Agora integramos de 0 a 1:
integral0^1(2t^3+5t^4+5t^5),dt =2integral0^1t^3dt+5integral0^1t^4dt+5integral0^1t^5dt =2cdot14 + 5cdot15 + 5cdot16 =tfrac12 + 1 + tfrac56 =tfrac73

Resposta

73

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