Suponha que daqui a t anos um fundo de investimento estará produzindo lucros a uma taxa P1 ^prime(t)=130+t^2 centenas de reais por ano, enquanto um segundo fundo estará produzindo lucros a uma taxa P2 ^prime(t)=306+5 t centenas de reais por ano.
a) (0,5 ponto) Durante quantos anos a rentabilidade do segundo fundo permanecerá maior que a do primeiro?
b) (1,5 pontos) Determine o excesso líquido de lucro supondo que você tenha investido no segundo fundo durante o período calculado no item (a).

Passo 1

O enunciado dá as taxas de lucro dos dois fundos em função do tempo t (em anos):
P1'(t)=130+t^2, P2'(t)=306+5t
(dadas em centenas de reais por ano).
Precisamos em (a) achar para quais t>=0 vale P2'(t)>P1'(t) e em (b) calcular o excesso líquido de lucro integrando a diferença dessas taxas nesse intervalo. Vamos usar resolução de inequação e integral definida.

Passo 2

Resolver a inequação
306 + 5t > 130 + t^2
que é equivalente a
t^2 - 5t - 176 < 0
As raízes de t^2 - 5t - 176 = 0 são
t = 5 pm raiz25 + 7042 = 5 pm 272,
isto é, t=-11 e t=16. Como o coeficiente de t^2 é positivo, a parábola abre para cima e a inequação vale em -11 < t < 16.

Passo 3

Restrigimos a t>=0, pois tempo não pode ser negativo. A interseção de -11 < t < 16 com t>=0 é
0 <= t < 16
Logo, durante 16 anos a taxa do segundo fundo permanece maior que a do primeiro.

Passo 4

O excesso líquido de lucro é
integral0^16l[P2'(t)-P1'(t)r],dt =integral0^16(306+5t - 130 - t^2),dt =integral0^16(176 + 5t - t^2),dt
Calculando a primitiva:
integral(176 + 5t - t^2),dt =176t + 52t^2 - 13t^3,
avaliando de 0 a 16:
176cdot16 + 52cdot16^2 - 13cdot16^3 =2816 + 640 - 40963 =62723
Isso está em centenas de reais, ou seja, 62723 centenas de reais, equivalendo a aproximadamente 209066,67 reais.

Resposta

(a) 16 anos.
(b) Excesso líquido de lucro tfrac62723 centenas de reais, isto é, aproximadamente 209066,67 reais.

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