( 1,5 pontos) Se o custo marginal de uma empresa for a seguinte função de produção, C^prime(q)=2 e^0,2 q e se o custo fixo C(0) for R 90,00$, encontre a função custo total. Em seguida encontre o custo total de 100 unidades produzidas.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função custo total a partir do custo marginal dado e depois calcular o custo para 100 unidades. O conteúdo envolvido é integração de funções exponenciais e aplicação de condição inicial (cost fixo).

Passo 2

Para achar a função custo total, precisamos integrar o custo marginal. Sabemos que
C'(q)=2e^0,2q
Usando a regra integral e^aq,dq=1a e^aq+K, temos
C(q)=integral2e^0,2q,dq=2cdot10,2e^0,2q+K=10e^0,2q+K,
sendo K a constante de integração.

Passo 3

Agora aplicamos a condição de custo fixo: C(0)=R$90. Substituindo q=0:
C(0)=10e^0+K=10+K=90implies K=80
Logo, a função custo total é
C(q)=10e^0,2q+80

Passo 4

Finalmente, para q=100 unidades, calculamos
C(100)=10e^0,2cdot100+80=10e^20+80approx10times4,85times10^8+80approx4,85times10^9+80approx4,85times10^9

Resposta

A função custo total é C(q)=10e^0,2q+80 e o custo para 100 unidades é C(100)=10e^20+80approx4,85times10^9 reais.

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