QUESTÃQ EXTRA
Calcule
, onde
e
é o círculo
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
e
é o círculo
. A estratégia mais simples é mostrar que
é conservativo (ou usar o Teorema de Green), pois num campo conservativo a integral sobre qualquer curva fechada é zero.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
Logo,
em toda a região interior ao círculo.
Passo 3
Como as derivadas parciais são contínuas e iguais,
é conservativo em
. Podemos encontrar uma potencial
integrando
em
:
Derivando em
e igualando a
mostra
, então podemos escolher
Passo 4
Num campo conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada em região simplesmente conexa vale zero, pois
retorna ao mesmo valor no ponto inicial/final.