QUESTÃQ EXTRA
Calcule integralC F d r, onde F(x, y)=(x y cos (x y)+sen(x y)) i+x^2 cos (x y) j e C é o círculo x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralCFcdot dr, onde
F(x,y)=l(xycos(xy)+sin(xy),;x^2cos(xy)r)
e C é o círculo x^2+y^2=1. A estratégia mais simples é mostrar que F é conservativo (ou usar o Teorema de Green), pois num campo conservativo a integral sobre qualquer curva fechada é zero.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=xycos(xy)+sin(xy), Q(x,y)=x^2cos(xy)
Calculamos
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^2cos(xy)r) =2xcos(xy)-x^2ysin(xy),
partial Ppartial y =partialpartial yl(xycos(xy)+sin(xy)r) =xcos(xy)-x^2ysin(xy)+xcos(xy) =2xcos(xy)-x^2ysin(xy)
Logo, partial Q/partial x=partial P/partial y em toda a região interior ao círculo.

Passo 3

Como as derivadas parciais são contínuas e iguais, F é conservativo em x^2+y^2<=1. Podemos encontrar uma potencial f integrando P em x:
f(x,y)=integrall(xycos(xy)+sin(xy)r),dx =xsin(xy)+g(y)
Derivando em y e igualando a Q mostra g'(y)=0, então podemos escolher
f(x,y)=xsin(xy)

Passo 4

Num campo conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada em região simplesmente conexa vale zero, pois f retorna ao mesmo valor no ponto inicial/final.

Resposta

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