Dê exemplos de duas curvas alpha1 e alpha2 que possuem o mesmo traço, mas com comprimentos diferentes.

Passo 1

O enunciado pede duas curvas parametrizadas alpha1 e alpha2 que tenham exatamente o mesmo traço (ou seja, imagem igual no plano), mas que, ao serem percorridas, resultem em comprimentos distintos. O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de curva a partir da integral do módulo da derivada do parâmetro.

Passo 2

Escolhemos como traço o círculo unitário
C = (x,y)inR^2mid x^2+y^2=1
Definimos a primeira curva passando uma única vez em torno de C:
alpha1colon [0,2pi]toR^2, alpha1(t)=l(cos t,;sin tr)

Passo 3

Para obtermos um percurso sobre C com comprimento diferente, basta dar duas voltas no mesmo círculo. Por exemplo, definimos
alpha2colon [0,2pi]toR^2, alpha2(t)=l(cos(2t),;sin(2t)r)
Note que alpha2 percorre o círculo unitário duas vezes quando t vai de 0 a 2pi. Logo o traço de alpha2 também é exatamente C.

Passo 4

Agora calculamos os comprimentos.
Para alpha1 temos
alpha1'(t)=l(-sin t,;cos tr), l|alpha1'(t)r|=1,
então
L1=integral0^2pil|alpha1'(t)r|,dt =integral0^2pi1,dt=2pi
Para alpha2 temos
alpha2'(t)=l(-2sin(2t),;2cos(2t)r), l|alpha2'(t)r|=2,
portanto
L2=integral0^2pil|alpha2'(t)r|,dt =integral0^2pi2,dt=4pi
Ambas as curvas têm o mesmo traço C, mas L1=2pineq 4pi=L2.

Resposta

Como exemplo:
alpha1(t)=(cos t,sin t), tin[0,2pi], e
alpha2(t)=(cos(2t),sin(2t)), tin[0,2pi].
Ambas têm traço igual ao círculo unitário, porém comprimentos 2pi e 4pi, respectivamente.

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