Dê exemplos de duas curvas e que possuem o mesmo traço, mas com comprimentos diferentes.
Passo 1
O enunciado pede duas curvas parametrizadas e que tenham exatamente o mesmo traço (ou seja, imagem igual no plano), mas que, ao serem percorridas, resultem em comprimentos distintos. O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de curva a partir da integral do módulo da derivada do parâmetro.
Passo 2
Escolhemos como traço o círculo unitário
Definimos a primeira curva passando uma única vez em torno de :
Passo 3
Para obtermos um percurso sobre com comprimento diferente, basta dar duas voltas no mesmo círculo. Por exemplo, definimos
Note que percorre o círculo unitário duas vezes quando vai de a . Logo o traço de também é exatamente .
Ambas as curvas têm o mesmo traço C, mas L1=2pineq 4pi=L2.
Resposta
Como exemplo: alpha1(t)=(cos t,sin t), tin[0,2pi], e alpha2(t)=(cos(2t),sin(2t)), tin[0,2pi].
Ambas têm traço igual ao círculo unitário, porém comprimentos 2pi e 4pi, respectivamente.