Sejam
tais que
. Prove que
(Sugestão: Use a lei dos cossenos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que o produto interno de dois vetores
e
em
é igual ao produto das normas desses vetores vezes o cosseno do ângulo
entre eles. Ou seja:
Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados e os ângulos de um triângulo. Vamos precisar entender como aplicar essa lei aos vetores e usar propriedades do produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei dos Cossenos. Em um triângulo qualquer, se temos lados de comprimentos
,
e
, e o ângulo entre
e
é
, a lei diz que:
Isso vai nos ajudar a relacionar os vetores
e
com o ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, consideremos os vetores
e
. Vamos formar um triângulo com esses vetores e o vetor
. O comprimento desse vetor será a norma de
, ou seja,
.
Segundo a Lei dos Cossenos, temos:
Passo 4
Por outro lado, vamos calcular
usando as propriedades do produto interno. Sabemos que:
Expandindo esse produto interno, temos:
Como
e
, fica:
Passo 5
Agora, temos duas expressões para
. Podemos igualá-las:
Simplificando ambos os lados, cancelamos
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Resposta
Prontinho! A gente provou que:
Usando a Lei dos Cossenos e as propriedades do produto interno, mostramos que o produto interno de dois vetores é igual ao produto das suas normas vezes o cosseno do ângulo entre eles.