Sejam v, w in R^3 tais que theta=ang<=(v, w). Prove que
lang<=v, wrang<==|v||w| cos theta
(Sugestão: Use a lei dos cossenos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que o produto interno de dois vetores v e w em R^3 é igual ao produto das normas desses vetores vezes o cosseno do ângulo theta entre eles. Ou seja:
lang<=v, wrang<==|v||w| cos theta
Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados e os ângulos de um triângulo. Vamos precisar entender como aplicar essa lei aos vetores e usar propriedades do produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei dos Cossenos. Em um triângulo qualquer, se temos lados de comprimentos a, b e c, e o ângulo entre a e b é theta, a lei diz que:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos theta
Isso vai nos ajudar a relacionar os vetores v e w com o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, consideremos os vetores v e w. Vamos formar um triângulo com esses vetores e o vetor v - w. O comprimento desse vetor será a norma de v - w, ou seja, |v - w|.
Segundo a Lei dos Cossenos, temos:
|v - w|^2 = |v|^2 + |w|^2 - 2|v||w| cos theta

Passo 4

Por outro lado, vamos calcular |v - w|^2 usando as propriedades do produto interno. Sabemos que:
|v - w|^2 = lang<= v - w, v - w rang<=
Expandindo esse produto interno, temos:
|v - w|^2 = lang<= v, v rang<= - 2lang<= v, w rang<= + lang<= w, w rang<=
Como lang<= v, v rang<= = |v|^2 e lang<= w, w rang<= = |w|^2, fica:
|v - w|^2 = |v|^2 + |w|^2 - 2lang<= v, w rang<=

Passo 5

Agora, temos duas expressões para |v - w|^2. Podemos igualá-las:
|v|^2 + |w|^2 - 2|v||w| cos theta = |v|^2 + |w|^2 - 2lang<= v, w rang<=
Simplificando ambos os lados, cancelamos |v|^2 + |w|^2:
-2|v||w| cos theta = -2lang<= v, w rang<=
Dividindo ambos os lados por -2, temos:
|v||w| cos theta = lang<= v, w rang<=

Resposta

Prontinho! A gente provou que:
lang<=v, wrang<==|v||w| cos theta
Usando a Lei dos Cossenos e as propriedades do produto interno, mostramos que o produto interno de dois vetores é igual ao produto das suas normas vezes o cosseno do ângulo entre eles.

Exercícios relacionados