Calcule a integral , onde R é a região trapezoidal com vértices em ( 1,0 ), e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . O desafio aqui é integrar essa função sobre uma região trapezoidal R com vértices em (1,0), (2,0), (0,-2) e (0,-1). Para isso, vamos precisar usar substituição de variáveis e calcular o jacobiano para mudar as coordenadas e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região de integração R. Ela é um trapézio com os vértices em (1,0), (2,0), (0,-2) e (0,-1). Observando esses pontos, percebemos que as bases do trapézio estão sobre a linha entre e , e sobre a linha entre e .
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição de variáveis para simplificar a integral. Vamos definir:
Essa escolha é interessante porque o expoente da função que estamos integrando é exatamente .
Passo 4
Com as novas variáveis e , precisamos expressar e em função de e . Resolvendo o sistema:
Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é necessário para mudar as variáveis na integral.
Passo 5
O jacobiano é dado por:
O valor absoluto do jacobiano é 12.
Passo 6
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de u e v. Observando os vértices:
Para (1,0): u = 1 + 0 = 1, v = 1 - 0 = 1
Para (2,0): u = 2 + 0 = 2, v = 2 - 0 = 2
Para (0,-2): u = 0 + (-2) = -2, v = 0 - (-2) = 2
Para (0,-1): u = 0 + (-1) = -1, v = 0 - (-1) = 1
Então, v varia de 1 a 2, e para cada v, u varia de -v +1 a v -1. Contudo, observando os pontos, percebemos que u varia de -2 a 2, mas para simplificar, vamos parametrizar com v fixo.
Passo 7
Com as substituições e os limites definidos, a integral original pode ser reescrita em termos de u e v:
integral duplaR e^uv cdot |J| , du , dv = integral duplaR' e^uv cdot 12 , du , dv
Onde R' é a nova região no plano uv.
Passo 8
Agora, vamos integrar em u primeiro e depois em v:
integralv=1^2 integralu=1-v^v-1 e^uv cdot 12 , du , dv
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou utilizando técnicas avançadas de integração. Para simplificação, vamos considerar uma aproximação numérica.
Resposta
Após realizar as integrações, o valor aproximado da integral dupla é: