Calcule a integral
sendo
a região limitada pela curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é basicamente somar os valores de
em toda a região
. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas que servem para calcular áreas ou volumes em regiões planas limitadas por curvas. Para resolver, vamos precisar identificar bem a região
delimitada pelas curvas
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso vai nos ajudar a entender os limites da região
.
-
Interseção de
com : Igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Como estamos trabalhando no domínio positivo (já que
não está definida para
), consideramos
. Substituindo na equação
:
Então, temos o ponto
.
-
Interseção de
com : Igualando as equações:
Multiplicando ambos os lados por
:
Considerando
, substituímos em
:
Então, temos o ponto
.
-
Interseção de
com : Igualando as equações:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Substituindo em
:
Assim, o ponto de interseção é
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região
. Ela está limitada entre
e
. Para cada
nesse intervalo,
varia entre as curvas
(limite inferior) e
(limite superior). A curva
intersecta as outras duas apenas no ponto
, que está fora da nossa região de interesse.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla. Vamos integrar primeiro em relação a
de
até
, e depois em relação a
de
até
. A integral fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar
em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Agora, fazemos a integral externa em relação a
:
Integrando termo a termo:
Combinando tudo:
Calculando nos limites:
- Para
:
- Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral dupla vale
.