Calcule a integral
I=integral duplaR(x+y) d A
sendo R a região limitada pela curvas y=1x, y=x4 e y=4 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é basicamente somar os valores de x + y em toda a região R. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas que servem para calcular áreas ou volumes em regiões planas limitadas por curvas. Para resolver, vamos precisar identificar bem a região R delimitada pelas curvas y = 1x, y = x4 e y = 4x.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde essas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso vai nos ajudar a entender os limites da região R.
  • Interseção de y = 1x com y = x4:
    Igualamos as duas equações:
1x = x4
Multiplicando ambos os lados por 4x para eliminar os denominadores:
4 = x^2 implies x = pm 2
Como estamos trabalhando no domínio positivo (já que y = 1x não está definida para x = 0), consideramos x = 2. Substituindo na equação y = 1x:
y = 12
Então, temos o ponto (2, 12).
  • Interseção de y = 1x com y = 4x:
    Igualando as equações:
1x = 4x
Multiplicando ambos os lados por x:
1 = 4x^2 implies x^2 = 14 implies x = pm 12
Considerando x = 12, substituímos em y = 4x:
y = 4 times 12 = 2
Então, temos o ponto (12, 2).
  • Interseção de y = x4 com y = 4x:
    Igualando as equações:
x4 = 4x
Multiplicando ambos os lados por 4:
x = 16x implies 15x = 0 implies x = 0
Substituindo em y = 4x:
y = 0
Assim, o ponto de interseção é (0, 0).

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região R. Ela está limitada entre x = 12 e x = 2. Para cada x nesse intervalo, y varia entre as curvas y = 4x (limite inferior) e y = 1x (limite superior). A curva y = x4 intersecta as outras duas apenas no ponto (0,0), que está fora da nossa região de interesse.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla. Vamos integrar primeiro em relação a y de 4x até 1x, e depois em relação a x de 12 até 2. A integral fica assim:
I = integralx=12^2 integraly=4x^1x (x + y) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar x + y em relação a y:
integral4x^1x (x + y) , dy = integral4x^1x x , dy + integral4x^1x y , dy
Calculando cada parte:
  1. integral4x^1x x , dy = x [ y ]4x^1x = x ( 1x - 4x ) = 1 - 4x^2
  2. integral4x^1x y , dy = [ y^22 ]4x^1x = 12 ( (1x)^2 - (4x)^2 ) = 12 ( 1x^2 - 16x^2 )
Somando as duas partes:
1 - 4x^2 + 12x^2 - 8x^2 = 1 + 12x^2 - 12x^2
Agora, fazemos a integral externa em relação a x:
I = integral12^2 ( 1 + 12x^2 - 12x^2 ) dx
Integrando termo a termo:
  1. integral 1 , dx = x
  2. integral 12x^2 , dx = 12 integral x^-2 , dx = 12 ( -x^-1 ) = -12x
  3. integral -12x^2 , dx = -12 integral x^2 , dx = -12 ( x^33 ) = -4x^3
Combinando tudo:
I = [ x - 12x - 4x^3 ]12^2
Calculando nos limites:
  • Para x = 2:
2 - 12 times 2 - 4 times 2^3 = 2 - 14 - 32 = 2 - 0,25 - 32 = -30,25
  • Para x = 12:
12 - 12 times 12 - 4 times ( 12 )^3 = 12 - 1 - 48 = 12 - 1 - 12 = -1
Subtraindo:
I = (-30,25) - (-1) = -30,25 + 1 = -29,25

Resposta

A integral dupla vale -29,!25.

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