Encontre o volume compreendido entre a parte interior da esfera x^2+y^2+z^2=1 e exterior ao cone z^2=x^2+y^2 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região no primeiro octante que fica dentro da esfera
x^2+y^2+z^2=1
e ao mesmo tempo está “acima” do cone
z^2=x^2+y^2
Isso é um problema clássico de integração em coordenadas esféricas, pois a esfera e o cone têm expressões simples nesse sistema.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
x = rho sinvarphicostheta, y = rho sinvarphisintheta, z = rho cosvarphi
com o jacobiano rho^2sinvarphi. No primeiro octante temos theta de 0 a tfracpi2 e varphi de 0 a tfracpi2. A superfície do cone z=raizx^2+y^2 vira
rhocosvarphi = rhosinvarphi
ou seja varphi = tfracpi4. Como queremos a parte “exterior” ao cone (isto é, acima do cone) e com z>=0, ficamos com
0 <= varphi <= tfracpi4, 0 <= theta <= tfracpi2, 0 <= rho <= 1

Passo 3

O volume é dado por
V = integraltheta=0^pi2 integralvarphi=0^pi4 integralrho=0^1 rho^2sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta
Podemos separar as integrais:
V = l(integral0^pi2dthetar) l(integral0^pi4sinvarphi,dvarphir) l(integral0^1rho^2,drhor)

Passo 4

Calculemos cada parte. Para rho:
integral0^1rho^2,drho = l[tfracrho^33r]0^1 = tfrac13

Passo 5

Para varphi:
integral0^pi4sinvarphi,dvarphi = l[-cosvarphir]0^pi4 = -cosl(tfracpi4r) + cos(0) = 1 - tfrac1raiz2

Passo 6

Para theta:
integral0^pi2dtheta = tfracpi2
Multiplicando tudo:
V = tfracpi2,l(1 - tfrac1raiz2r),tfrac13 = tfracpi6l(1 - tfrac1raiz2r)

Resposta

V = pi6l(1 - 1raiz2r)

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