Encontre o volume compreendido entre a parte interior da esfera
exterior ao cone
no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região no primeiro octante que fica dentro da esfera
e ao mesmo tempo está “acima” do cone
Isso é um problema clássico de integração em coordenadas esféricas, pois a esfera e o cone têm expressões simples nesse sistema.
Passo 2
Em coordenadas esféricas tomamos
com o jacobiano
. No primeiro octante temos
de
a
e
de
a
. A superfície do cone
vira
ou seja
. Como queremos a parte “exterior” ao cone (isto é, acima do cone) e com
, ficamos com
Passo 3
O volume é dado por
Podemos separar as integrais:
Passo 4
Calculemos cada parte. Para
:
Passo 5
Para
:
Passo 6
Para
:
Multiplicando tudo: