Determine uma equação para o conjunto de pontos equidistantes de dois pontos
Descreva seu lugar geométrico no espaço.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma equação que descreva todos os pontos P(x, y, z) que estão à mesma distância de dois pontos fixos P0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, z1) . Estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional e vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. A distância d entre P(x, y, z) e P0(x0, y0, z0) é dada por:
d = raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2
E a distância entre P(x, y, z) e P1(x1, y1, z1) é:
d = raiz(x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2
Passo 3
Como queremos que as distâncias sejam iguais, podemos igualar as duas expressões:
Essa equação representa um plano no espaço que é exatamente o conjunto de todos os pontos equidistantes de P0 e P1 . Esse plano é chamado de mediatriz do segmento que une P0 e P1 .
Resposta
A equação que descreve o conjunto de pontos P(x, y, z) equidistantes de P0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, z1) é: