Determine uma equação para o conjunto de pontos P(x, y, z) equidistantes de dois pontos
P P0=P P1 P0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, z1)
Descreva seu lugar geométrico no espaço.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma equação que descreva todos os pontos P(x, y, z) que estão à mesma distância de dois pontos fixos P0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, z1) . Estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional e vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. A distância d entre P(x, y, z) e P0(x0, y0, z0) é dada por:
d = raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2
E a distância entre P(x, y, z) e P1(x1, y1, z1) é:
d = raiz(x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2

Passo 3

Como queremos que as distâncias sejam iguais, podemos igualar as duas expressões:
raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = raiz(x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2

Passo 4

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = (x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2

Passo 5

Agora, vamos expandir os quadrados:
(x^2 - 2x x0 + x0^2) + (y^2 - 2y y0 + y0^2) + (z^2 - 2z z0 + z0^2) = (x^2 - 2x x1 + x1^2) + (y^2 - 2y y1 + y1^2) + (z^2 - 2z z1 + z1^2)

Passo 6

Em seguida, vamos cancelar os termos semelhantes de ambos os lados:
-2x x0 + x0^2 - 2y y0 + y0^2 - 2z z0 + z0^2 = -2x x1 + x1^2 - 2y y1 + y1^2 - 2z z1 + z1^2

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com x, y, z de um lado e os constantes do outro:
-2x x0 + 2x x1 - 2y y0 + 2y y1 - 2z z0 + 2z z1 = x1^2 - x0^2 + y1^2 - y0^2 + z1^2 - z0^2

Passo 8

Podemos fatorar os termos com x, y, z :
2(x1 - x0)x + 2(y1 - y0)y + 2(z1 - z0)z = x1^2 - x0^2 + y1^2 - y0^2 + z1^2 - z0^2

Passo 9

Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
(x1 - x0)x + (y1 - y0)y + (z1 - z0)z = x1^2 - x0^2 + y1^2 - y0^2 + z1^2 - z0^22

Passo 10

Essa equação representa um plano no espaço que é exatamente o conjunto de todos os pontos equidistantes de P0 e P1 . Esse plano é chamado de mediatriz do segmento que une P0 e P1 .

Resposta

A equação que descreve o conjunto de pontos P(x, y, z) equidistantes de P0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, z1) é:
(x1 - x0)x + (y1 - y0)y + (z1 - z0)z = x1^2 - x0^2 + y1^2 - y0^2 + z1^2 - z0^22
Esse é o plano mediatriz do segmento que une P0 e P1 no espaço tridimensional.

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