Calcule a integral
integral duplaR(2 x-y) d A
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência x^2+y^2=4 e pelas retas y=0 e y=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(2x - y),dA
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência x^2+y^2=4 e pelas retas y=0 e y=x.
O conteúdo aqui é “integrais duplas em coordenadas polares”, pois a região é um setor circular.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e o integrando vira
2x - y = 2(rcostheta) - (rsintheta) = r,(2costheta - sintheta)
Portanto a integral fica
integral duplaR(2x - y),dA =integraltheta=theta1^theta2integralr=0^2r,(2costheta - sintheta),r,dr,dtheta =integraltheta1^theta2integral0^2(2costheta - sintheta),r^2,dr,dtheta

Passo 3

Os limites em r vão de 0 até 2 (raio da circunferência) e em theta de 0 (reta y=0) até pi/4 (reta y=x). Logo
integral duplaR(2x - y),dA =integral0^pi/4integral0^2(2costheta - sintheta),r^2,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral0^2r^2,dr=[r^33]0^2=83
Então a integral reduz-se a
83integral0^pi/4(2costheta - sintheta),dtheta

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi/4(2costheta - sintheta),dtheta =l[2sintheta + costhetar]0^pi/4 =2l(raiz22-0r)+l(raiz22-1r) =raiz2 + raiz22-1 =3raiz22-1
Multiplicando pelo tfrac83, obtemos
83l(3raiz22-1r) =4raiz2 - 83

Resposta

4raiz2 - 83

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