Ex. 5.Determinar o tipo das seguintes equaçōes diferenciais e indicar o método de resolução:
y=x e^y^prime

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y = x,e^y'
onde y=y(x) e y'=dydx. O objetivo é classificar o tipo dessa EDO e indicar um método de resolução adequado.

Passo 2

Primeiro isolamos y'. Da equação
y = x,e^y'
segue
e^y' = yx Longrightarrow y' = ln!l(tfracyxr)

Passo 3

Observamos que y' = f!l(tfracyxr), ou seja, a derivada é dada por uma função do quociente y/x. Isso caracteriza uma EDO de 1ª ordem não-linear do tipo homogênea (no sentido de que f depende apenas de y/x).

Passo 4

O método padrão para EDOs com y'=f(y/x) é a substituição
y = u(x),x,
onde u(x)=tfracyx. Calculamos então
dydx = u + x,dudx

Passo 5

Substituindo em y'=ln(u) obtemos
u + x,dudx = ln(u) Longrightarrow x,dudx = ln(u) - u
Essa equação é separável, pois pode ser posta na forma
duln(u)-u = dxx

Passo 6

Basta então integrar ambos os lados:
integral duln(u)-u = integral dxx,
e voltar à variável y por meio de u=tfracyx.

Resposta

A equação é uma EDO de primeira ordem, não-linear e homogênea (no sentido y'=f(y/x)). O método de resolução é a substituição y=ux seguida de separação de variáveis.

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