Verdadeiro ou Falso.
( ) O trabalho realizado pela força
F(x, y)=2(x-y) i+2(3 y-x) j [N]
para deslocar um corpo do ponto (1,2) ao ponto (4,0) por qualquer que seja o caminho C ligando esses dois pontos é igual a W=6[J].
) O campo
F(x, y, z)=4 x^2 y z^3 i+2 x^2 z^3 j+6 x^2 y z^2 k
é conservativo.

Passo 1

O exercício apresenta duas afirmações do tipo Verdadeiro ou Falso: a primeira diz respeito ao trabalho realizado pela força
vec F(x,y)=2(x-y),vec i+2(3y-x),vec j
do ponto (1,2) a (4,0) ser igual a 6 J para qualquer caminho, e a segunda afirma que o campo
vec F(x,y,z)=4x^2yz^3,vec i+2x^2z^3,vec j+6x^2yz^2,vec k
é conservativo. Vamos verificar cada uma em passos.

Passo 2

Verificamos se o campo no plano é conservativo calculando
P=2x-2y e Q=6y-2x.
Como
partial Ppartial y=-2 e partial Qpartial x=-2,
o campo é conservativo. Para achar o potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y)=integral(2x-2y),dx=x^2-2xy+g(y)
Diferenciando em y e igualando a Q temos
partialphipartial y=-2x+g'(y)=6y-2x
logo g'(y)=6y e g(y)=3y^2. Assim
phi(x,y)=x^2-2xy+3y^2

Passo 3

O trabalho é a diferença de potencial entre os pontos:
W=phi(4,0)-phi(1,2)=16-9=7,J
Isso difere de 6 J, logo a primeira afirmação é falsa.

Passo 4

Para o campo tridimensional, basta checar uma das condições de conservatividade. Tomando
P=4x^2yz^3 e Q=2x^2z^3, vemos
partial Ppartial y=4x^2z^3 e partial Qpartial x=4xz^3,
que não são iguais em geral. Portanto o campo não é conservativo e a segunda afirmação também é falsa.

Resposta

Falso; Falso.

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