Dada a função f(x)=15 x^5-103 x^3+9 x+2, pede-se:
O(s) pontos de inflexão, caso existam.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=15x^5-103x^3+9x+2
e pede os pontos de inflexão, isto é, os pontos onde a concavidade muda. Para isso vamos precisar calcular a segunda derivada f''(x), achar suas raízes e verificar que há troca de sinal em cada raiz.

Passo 2

Primeiro derivamos para obter
f'(x)=ddxl(tfrac15x^5r)-ddxl(tfrac103x^3r)+ddx(9x)+ddx(2) =x^4-10x^2+9
Derivando de novo,
f''(x)=ddx(x^4)-ddx(10x^2)+ddx(9) =4x^3-20x =4x,(x^2-5)

Passo 3

Encontramos as raízes de f''(x)=0:
4x,(x^2-5)=0 Longrightarrow x=0, x=pmraiz5

Passo 4

Para confirmar que cada raiz é ponto de inflexão, verificamos a mudança de sinal de f''(x) em cada uma. Alternativamente, basta notar que
f'''(x)=ddx(4x^3-20x)=12x^2-20
é diferente de zero em x=0,pmraiz5, logo são raízes simples de f'' e a concavidade troca de sinal em cada uma delas.

Passo 5

Faltam as ordenadas. Calculamos f(0) e f(pmraiz5):
f(0)=2
Para x=raiz5:
f(raiz5) =15(raiz5)^5-103(raiz5)^3+9raiz5+2 =5raiz5-503raiz5+9raiz5+2 =2-83raiz5
Para x=-raiz5:
f(-raiz5) =-5raiz5+503raiz5-9raiz5+2 =2+83raiz5

Resposta

Os pontos de inflexão são
l(-raiz5,,2+tfrac83raiz5r), (0,,2), l(raiz5,,2-tfrac83raiz5r)

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