Calcule a integral
onde
é a região no semiplano superior limitada pelos círculos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a região no semiplano superior limitada pelos círculos
e
.
Conteúdo da matéria: Vamos usar integração em coordenadas polares, que é super útil para regiões circulares. Precisamos entender como converter as coordenadas cartesianas
para polares
e ajustar os limites da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a região
para coordenadas polares. Os círculos
e
correspondem a
e
, respectivamente. Como estamos no semiplano superior, o ângulo
varia de
a
(ou 0 a 180 graus).
Então, os limites são:
-
vai de 1 a 2 -
vai de 0 a
Passo 3
Agora, vamos converter a função
para coordenadas polares. Sabemos que:
Substituindo na função:
Passo 4
A área diferencial em coordenadas polares é
. Portanto, nossa integral dupla fica:
Multiplicando
:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro. Vamos separar as duas partes:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Passo 6
Agora, nossa integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Integrando
:
Usamos a identidade trigonométrica
.
Integrando:
Integrando
:
Resposta
Somando os resultados das integrais:
Então, o valor da integral é
.