Calcule a integral
integralegral duplaR(8 x^2+9 y) d A
onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaR(8 x^2+9 y) d A
onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 .
Conteúdo da matéria: Vamos usar integração em coordenadas polares, que é super útil para regiões circulares. Precisamos entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta) e ajustar os limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a região R para coordenadas polares. Os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 correspondem a r = 1 e r = 2 , respectivamente. Como estamos no semiplano superior, o ângulo theta varia de 0 a pi (ou 0 a 180 graus).
Então, os limites são:
  • r vai de 1 a 2
  • theta vai de 0 a pi

Passo 3

Agora, vamos converter a função 8x^2 + 9y para coordenadas polares. Sabemos que:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
Substituindo na função:
8x^2 + 9y = 8(r cos theta)^2 + 9(r sin theta) = 8r^2 cos^2 theta + 9r sin theta

Passo 4

A área diferencial em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta . Portanto, nossa integral dupla fica:
integral0^pi integral1^2 (8r^2 cos^2 theta + 9r sin theta ) r , dr , dtheta
Multiplicando r :
integral0^pi integral1^2 (8r^3 cos^2 theta + 9r^2 sin theta ) dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar em relação a r primeiro. Vamos separar as duas partes:
  1. integral1^2 8r^3 cos^2 theta , dr
  2. integral1^2 9r^2 sin theta , dr
Para a primeira parte:
8 cos^2 theta integral1^2 r^3 , dr = 8 cos^2 theta [ r^44 ]1^2 = 8 cos^2 theta ( 164 - 14 ) = 8 cos^2 theta cdot 154 = 30 cos^2 theta
Para a segunda parte:
9 sin theta integral1^2 r^2 , dr = 9 sin theta [ r^33 ]1^2 = 9 sin theta ( 83 - 13 ) = 9 sin theta cdot 73 = 21 sin theta

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
integral0^pi (30 cos^2 theta + 21 sin theta ) dtheta
Vamos integrar cada termo separadamente.
Integrando 30 cos^2 theta :
Usamos a identidade trigonométrica cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 .
30 integral0^pi cos^2 theta , dtheta = 30 integral0^pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = 15 integral0^pi (1 + cos 2theta) , dtheta
Integrando:
15 [ theta + sin 2theta2 ]0^pi = 15 [ pi + 0 - (0 + 0) ] = 15pi
Integrando 21 sin theta :
21 integral0^pi sin theta , dtheta = 21 [ -cos theta ]0^pi = 21 [ -(-1) - (-1) ] = 21 (1 + 1) = 42

Resposta

Somando os resultados das integrais:
15pi + 42
Então, o valor da integral é 15pi + 42 .

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