Calcule a seguinte integral iterada
integral0^raizpi integraly^raizpi cos x^2 d x d y
l y <= x <= raizpi 0 <= y <= raizpi

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos calcular a integral iterada
integral0^raizpiintegraly^raizpicos x^2,dx,dy
O conteúdo principal é troca de ordem de integração para simplificar a avaliação.

Passo 2

A região de integração no plano (x,y) é dada por
0 <= y <= raizpi, y <= x <= raizpi
Invertendo a ordem, x varia de 0 a raizpi e, para cada x, y varia de 0 a x. Assim
integral0^raizpiintegraly^raizpicos x^2,dx,dy =integral0^raizpiintegral0^xcos x^2,dy,dx

Passo 3

Integramos em y, observando que cos x^2 não depende de y:
integral0^xcos x^2,dy = xcos x^2
Logo a integral reduz-se a
integral0^raizpixcos x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral0^raizpixcos x^2,dx usamos a substituição
u = x^2, du = 2x,dx,
com u(0)=0 e u(raizpi)=pi. Assim
integral0^raizpixcos x^2,dx =12integral0^picos u,du =12l[sin ur]0^pi =0

Resposta

O valor da integral é 0.

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