Considere a equação diferencial 2 y^2+2 yx+(2 x y+2+yx) y^prime=0.
Encontre a solução desta equação que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo:
2 y^2 + 2 yx + (2 x y + 2 + yx) y' = 0
Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação que satisfaz a condição inicial y(1) = 1 . Para resolver essa equação, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e processos de simplificação e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar y' . A equação dada é:
2 y^2 + 2 yx + (2 x y + 2 + yx) y' = 0
Subtraindo os termos que não contêm y' dos dois lados, temos:
(2 x y + 2 + yx) y' = -(2 y^2 + 2 yx)
Agora, isolamos y' :
y' = -2 y^2 + 2 yx2 x y + 2 + yx

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos multiplicar numerador e denominador por x para eliminar as frações:
Numerador:
x (2 y^2 + 2 yx) = 2 x y^2 + 2 y
Denominador:
x (2 x y + 2 + yx) = 2 x^2 y + 2 x + y
Então, a equação simplificada fica:
y' = -2 x y^2 + 2 y2 x^2 y + 2 x + y

Passo 4

Agora, vamos tentar simplificar ainda mais a equação para torná-la separável ou identificar um fator integrante. Observamos que os termos possuem y e x de forma que uma substituição pode ajudar.
Vamos tentar a substituição u = x y . Então, y = ux .
Derivando ambos os lados em relação a x :
y' = u' x - ux^2

Passo 5

Substituindo y e y' na equação original:
y' = u' x - ux^2 = -2 x (ux)^2 + 2 (ux)2 x^2 (ux) + 2 x + ux
Simplificando os termos:
Numerador:
2 x (u^2x^2) + 2 (ux) = 2 u^2x + 2 ux
Denominador:
2 x^2 (ux) + 2 x + ux = 2 x u + 2 x + ux
Então, a equação fica:
u' x - ux^2 = -2 u^2x + 2 ux2 x u + 2 x + ux

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados por x^2 para eliminar denominadores:
u' x - u = -x^2 cdot 2 u^2 + 2 ux (2 x u + 2 x + ux)
Simplificando:
u' x - u = -x^2 cdot 2 u^2 + 2 u2 x^2 u + 2 x^2 + u
Percebemos que 2 x^2 u + 2 x^2 + u = u (2 x^2 + 1) + 2 x^2 , mas essa forma ainda é complicada. Parece que a substituição escolhida não simplifica suficientemente a equação.

Passo 7

Vamos tentar uma abordagem diferente. Observando a equação original:
2 y^2 + 2 yx + (2 x y + 2 + yx) y' = 0
Podemos considerar dividir todos os termos por y (assumindo que y neq 0 ) para simplificar:
2 y + 2x + (2 x + 2y + 1x) y' = 0
No entanto, essa forma ainda não facilita muito a solução. Portanto, vamos tentar uma substituição diferente.

Passo 8

Vamos considerar a substituição v = y x . Então, y = vx .
Calculando a derivada y' :
y' = v' x - vx^2
Substituindo y e y' na equação original:
2 (vx)^2 + 2 (vx)x + (2 x cdot vx + 2 + vxx) (v' x - vx^2) = 0
Simplificando cada termo:
2 cdot v^2x^2 + 2 vx^2 + (2 v + 2 + vx^2) cdot v' x - vx^2 = 0
Isso ainda está complicado, então precisamos tentar outra abordagem ou verificar se há algum erro na simplificação.

Passo 9

Vamos tentar reorganizar a equação original de uma forma que possamos identificar um fator integrante ou torná-la exata.
A equação é:
2 y^2 + 2 yx + (2 x y + 2 + yx) y' = 0
Podemos reescrever isso como:
(2 x y + 2 + yx) dy + (2 y^2 + 2 yx) dx = 0
Agora, temos a forma M dx + N dy = 0 , onde:
M = 2 y^2 + 2 yx
N = 2 x y + 2 + yx
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4 y + 2x
partial Npartial x = 2 y - yx^2
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 10

Podemos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de x . O fator integrante mu(x) deve satisfazer:
d mudx = mu ( partial Mpartial y - partial Npartial xN )
Calculando:
partial Mpartial y - partial Npartial x = (4 y + 2x) - (2 y - yx^2) = 2 y + 2x + yx^2
Então:
d mudx = mu ( 2 y + 2x + yx^22 x y + 2 + yx )
Essa expressão ainda é complicada, indicando que talvez a abordagem de fator integrante dependa de y também, o que complica a solução.

Passo 11

Diante das dificuldades nas abordagens anteriores, vamos tentar resolver a equação diferencial numericamente ou reconsiderar a substituição inicial u = x y com mais atenção, ajustando os passos para simplificar corretamente.
Retomando a substituição u = x y , onde y = ux e y' = u' x - ux^2 , substituímos na equação:
2 (ux)^2 + 2 (ux)x + (2 x cdot ux + 2 + uxx) cdot u' x - ux^2 = 0
Simplificando:
2 u^2x^2 + 2 ux^2 + (2 u + 2 + ux^2) cdot u' x - ux^2 = 0
Multiplicando todos os termos por x^2 para eliminar denominadores:
2 u^2 + 2 u + (2 u + 2 + ux^2) cdot u' x - ux^2 = 0
Ainda parece complicado, então precisamos encontrar outra estratégia ou verificar se há uma simplificação que foi negligenciada.

Passo 12

Após diversas tentativas e simplificações, percebemos que a equação original pode não ter uma solução em termos de funções elementares facilmente expressáveis. Nesse caso, podemos recorrer à solução numérica ou considerar que houve um erro na formulação inicial.
Entretanto, para fins de exercício, assumindo que há uma solução analítica, vamos tentar uma abordagem diferente ou verificar se há alguma simetria ou condição que facilite a resolução.

Resposta

Após diversas tentativas de simplificação e substituições, concluímos que a equação diferencial fornecida é complexa e não permite uma solução analítica direta usando métodos básicos de equações diferenciais de primeira ordem. Portanto, para resolver essa equação, seria apropriado utilizar métodos numéricos ou ferramentas mais avançadas de cálculo diferencial.

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