Calcule o valor da integral dupla
integralegral duplaR sin (x^2+y^2) d A
onde R é a regiào do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 6 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR sinl(x^2+y^2r),dA
onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos de centro na origem e raios 1 e 6.
Conteúdo necessário: usar coordenadas polares l(r,thetar), com x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares a região R fica
0<=theta<=pi2, 1<= r<= 6,
e a integral torna-se
integral duplaR sinl(x^2+y^2r),dA =integral0^pi/2!!integral1^6sinl(r^2r),r,dr,dtheta

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em r. Use u=r^2, logo du=2r,dr e r,dr=du/2. Temos
integral1^6sinl(r^2r),r,dr =12integralu=1^2^u=6^2sin(u),du =12l[-cos(u)r]1^36 =-tfrac12l(cos(36)-cos(1)r)

Passo 4

Agora integramos em theta, que é trivial pois o resultado anterior não depende de theta:
integral0^pi/2!l[-tfrac12l(cos(36)-cos(1)r)r],dtheta =-tfrac12l(cos(36)-cos(1)r)cdotpi2 =pi4l(cos(1)-cos(36)r)

Resposta

integral duplaR sinl(x^2+y^2r),dA =pi4l(cos(1)-cos(36)r)

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