Considere a função f(x, y)=x^33-x+y^33-y. Calcule:
Determine os pontos críticos de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a função f(x, y) = x^33 - x + y^33 - y e precisa encontrar os pontos críticos dessa função. Pontos críticos são aqueles onde a função pode ter um máximo, mínimo ou um ponto de sela. Para encontrar esses pontos, a gente vai precisar usar derivadas parciais e resolver um sistema de equações. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y . Derivadas parciais são como as derivadas normais, mas a gente considera uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.
  • Derivada parcial de f em relação a x :
partial fpartial x = ddx(x^33 - x) + ddx(y^33 - y) = x^2 - 1
(Porque a derivada de y^33 - y em relação a x é zero, já que y é constante aqui.)
  • Derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = ddy(x^33 - x) + ddy(y^33 - y) = y^2 - 1
(Mesma lógica: a derivada de x^33 - x em relação a y é zero.)

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
x^2 - 1 = 0 y^2 - 1 = 0
Vamos resolver cada equação:
  1. x^2 - 1 = 0
x^2 = 1 implies x = pm 1
  1. y^2 - 1 = 0
y^2 = 1 implies y = pm 1

Passo 4

Com as soluções para x e y , vamos combinar os valores para encontrar todos os pontos críticos:
  • x = 1 e y = 1 (1, 1)
  • x = 1 e y = -1 (1, -1)
  • x = -1 e y = 1 (-1, 1)
  • x = -1 e y = -1 (-1, -1)

Resposta

Os pontos críticos de f são:
(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)

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